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第2章 随机变量的分布及其数字特征,随机变量 分布函数,离散型随机变量及其分布,连续型随机变量及其分布,正态分布,随机变量函数的分布,随机变量的数字特征, 2.1.1 随机变量 (Random Variable)为了更有效地研究随机现象的规律,需要引入微积分作为工具,这就需要用变量的形式来表达随机现象。先考察下列两个随机试验的例子例2.1 某人抛掷一枚色子,观察出现的点数。 试验结果的事件表达形式:出现1点;出现2点;出现3点;出现4点;出现5点;出现6点。 如果令 表示出现的点数,则 的可能取值为 于是,试验结果的变量表示为:“出现1点” ; “出现2点”“出现3点” ; “出现4点”“出现5点” ; “出现6点”,2.1 随机变量 分布函数,例2.2 某人掷硬币试验,观察落地以后出现在上面的面。试验结果的事件表达形式:国徽面在上面;有字面在上面如果 表示国徽面在上面, 表示有字面在上面。则试验结果的变量表示为:“国徽面在上面”“有字面在上面” 特点:试验结果数量化了,试验结果与实数建立了对应关系,而且变量取值随着试验结果的变化而变化。,定义1: 设 是一随机试验,其样本空间为 ,如果对于 中的每一个样本点,都有一个实数 与之对应,并且 满足:(1) 是由 唯一确定; (2)对任意给定的实数 ,集合 都表示一个有概率的事件。则称 为一随机变量(Random Variable)。,设 为一个随机变量,对于任意实数 ,则集合 是随机事件,随着 变化,事件 也会变化。 这说明该事件是实变量 的“函数”。 随机变量 与高等数学中函数的变量有所不同。 (1)自变量的取值是可以在函数的定义域内随便指定,随机变量的取值只能在其取值范围内由试验的具体结果确定,具有偶然性; (2) 的定义域是样本空间,值域是实数轴。 随机变量的本质特性是其取值具有不确定性,在未试验之前无法确知它取哪个值。, 随机变量举例与分类例2.3 某人抛掷一枚骰子,观察出现的点数 的可能取值为 。例2.4 某个灯泡的使用寿命 的可能取值为 。例2.5 一部电话总机在一分钟内收到的呼叫次数 的可能取值为 。例2.6 为在 区间上随机移动的点,该点的坐标 的可能取值为 。从随机变量取值的有限无限个,及方式的可列不可列的角度来看,随机变量可做如下分类:,有限或无穷可列取值,无穷且不可列取值, 2.1.2 分布函数(Distribution Function),随机变量的概率分布定义2: 能反映随机变量取值规律的数学表达式称为随机变量的概率分布律,简称概率分布。概率分布的常用表达方式有:分布函数(“通用型”);概率函数或概率密度函数(“针对型”)。,分布函数概念定义3: 设 为随机变量, 为任意实数,则 称为随机变量 的分布函数,其定义域为 。显然,分布函数是一个特殊的随机事件的概率。,是一个实函数!,(1)对于任意 ,有 (非负有界性);(2) (规范性);(3)对于任意 有 (非减性);(4) 在每一点至少是右连续的(连续性)。,若已知随机变量 的分布函数 ,则对于任意 有,分布函数的性质,例2.7 已知随机变量 的所有可能取值为 ,取各值的概 率分别为 ,试求随机变量的分布函数并作其图像。,解:由题设随机变量的概率分布为,由分布函数的定义有当 时, ;当 时, 当 时,;当 时, 。分布函数图像如图2.1所示,图2.1, 2.2 离散型随机变量及其分布, 2.2.1. 离散型随机变量,定义1:如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列,则该随机变 量称为离散型随机变量。定义2:设离散型随机变量 的所有可能取是 ,而取值 的概率为 ,即有则称该式为随机变量 的概率函数。其也可以用下表表达:并称其为随机变量 的概率分布列,简称分布列。还可以通过作图直观表示,称为随机变量的概率分布图或概率函数图 。,图中线的高度为 取值于该点的概率值。 注意:离散型随机变量的概率分布除用分布函数可以表示以外,还可以利用概率函数或分布列或分布图表示,概率函数与分布列,分布图是等效的,概率函数比分布列表示简便,而分布图则更直观。,概率函数的两个基本性质:,(1) (非负性) (2) (归一性)。,例2.8 设袋中有五个球,3个白球2个黑球。从中任取两球,以表示取到的黑球数。求其概率函数及其概率分布函数。解: 的可能取值为 分别表示事件“没有取到黑球”、“取到一个黑球”、 “取到两个黑球”,则其概率函数,当 时,,;,当 时,,当 时,,当 时,,所以, 的分布函数为,概率函数和分布函数用于描述随机变量的变化规律,它们之间的关系为:,已知概率函数求分布函数,例2.9 设随机变量的概率函数为。求常数 的值。 解:由于 故而,已知分布函数求概率函数, 2.2.2 常见的离散型随机变量的概率分布,引入随机变量的概念以后,客观世界中的许多随机现象,如果抛开其所涉及的具体内容,实质上可以用同一个概率模型即概率分布来表达。,1.等概分布,设 为离散型随机变量,若其分布列为:,则 称服从等概分布。该分布满足:,(1) 非负性:,(2) 规范性:,2.两点分布(0-1分布)若随机变量 的分布表为其中 ,则称 服从参数为 的两点分布。记作 。 两点分布所能刻画的随机现象:凡是随机试验只有两个可能的结果,都可以两点分布作为其概率模型。例如:掷硬币观察正反面,产品是否合格,人口性别统计,系统是否正常,电力消耗是否超负荷等等。,例如,投一枚均匀的骰子,观察向上面的点数,用 表示向上面的点数,则 服从 的等概分布。,二项分布的概率函数就是二项式 展开式中的通项(这里 ),所以称之为二项分布。分布中,当 时,就是两点分布,其概率函数为,(1) 非负性:,则称 服从参数为 的二项分布(Binomial distribution),记为,若离散型随机变量 的概率函数为:,3.二项分布,显然,二项分布的概率函数满足:,(2) 规范性:,例2.10 设某学生在期末考试中,共有5门课程要考,已知该学生每门课程及格的概率为0.8。试求该学生恰好有3门课及格的概率和至少有3门课及格的概率。解: 设 表示该学生恰好有3门课及格;表示该学生至少有3门课及格。 显然,这是一个5重贝努里概型,从而有,凡是 重贝努里概型中随机事件 发生次数的概率分布规律都可用二项分布来刻画。,例2.11 某保险公司以往资料显示,索赔要求中有8%是因为被盗而提出来的。现已知该公司某个月共收到10个索赔要求,试求其中包含4个以上被盗索赔要求的概率。解: 设 表示10个索赔要求中被盗索赔要求的个数,则于是,所求概率为即10各索赔要求中有4个以上被盗索赔要求的概率为0.00059 通过该例题的求解,可以看出:二项分布当参数 很大,而 很小时,有关概率的计算是相当麻烦的。甚至有时借助于计算工具也难实现。为了解决这种情况下的二项分布有关概率计算问题,1837年法国数学家S. D. Poisson 提出了以下定理。,Poisson定理 设随机变量 , 若 时,有 ,则有证明:令 ,于是有对于固定的 有所以,实际应用中:当 较大, 较小, 适中时,即可用泊松定理的结果对二项概率进行近似计算。例2.12 某人骑摩托车上街,出事故的概率为0.02,独立重复上街400次,求至少出两次事故的概率。解: 400次上街400重Bernoulli概型;记 为出事故的次数,则 。由于 ,所以由Poisson定理有, 4泊松(Poisson)分布,若随机变量 的概率函数为则称 服从参数为 的泊松分布,记为 。,若某人做某事的成功率为1%,他重复努力400次,则该人成功的概率为 。这表明随着实验次数的增多,小概率事件是会发生的!,显然,泊松分布的概率函数 满足:,:,(1) 非负性:,;,(2) 规范性:,泊松分布所能刻画随机现象:服务台在某时间段内接待的服务次数;交换台在某时间段内接到呼叫的次数;矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目;单位体积空气中含有某种微粒的数目;单位时间内市级医院急诊病人数;一本书中每页印刷错误的个数。特别注意: 体积相对较小的物质,在较大的空间内的稀疏分布,都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。,这时,如果直接计算 ,计算量很大。由于 很大, 很小,可利用泊松分布( )近似计算。,解:设患有该种疾病的人数为随机变量 ,则 故,,例2.13 已知某种疾病的发病率为0.001,某单位现有职工5000人,问该单位患有这种疾病的人数超过5人的概率有多大?,(设 时),(1) 非负性:,都是正整数,且为参数,则称 服从参数为 的超几何分布,记作 。显然,它的概率函数式满足:,设离散型随机变量 的概率函数为:, 5超几何分布,(2) 规范性:,成立,则称 为连续型随机变量。 为连续型随机变量 的概率密度函数,简称密度函数。,Def 设随机变量 的分布函数为 ,如果存在非负的可积函数 ,使得对任意的 ,有,2.3 连续型随机变量及其分布, 2.3.1 连续型随机变量,可以证明,连续型随机变量的分布函数是连续函数。随机变量的概率密度函数具有如下两条基本性质:,
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