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, 学生用书单独成册)A.基础达标1在四边形 ABCD 中,若,则( )ACABADA四边形 ABCD 是矩形 B四边形 ABCD 是菱形 C四边形 ABCD 是正方形 D四边形 ABCD 是平行四边形 解析:选 D.由向量加法的平行四边形法则知四边形 ABCD 是平行四边形故选 D.2如图所示,在平行四边形 ABCD 中,( )BCDCBAA. BBDDBC. DBCCB解析:选 C.()0.BCDCBABCDCBABCBC3已知 a,b,c 是非零向量,则(ac)b,b(ac),b(ca),c(ab), c(ba)中,与向量 abc 相等的个数为( ) A5 B4 C3 D2 解析:选 A.依据向量加法的交换律及结合律,每个向量式均与 abc 相等,故选 A.4如图所示的方格中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则( )OPOQA. BOHOGC. DFOEO解析:选 C.设 a,以 OP,OQ 为邻边作平行四边形,则夹在 OP,OQ 之间OPOQ的对角线对应的向量即为向量 a,则 a 与长度相等,方向相同,所以 a.OPOQFOFO5设 a()(),b 是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为( )ABCDBCDAab;aba;abb;|ab|a|b|; |ab|a|b|. A B C D解析:选 C.因为()()ABCDBCDAa0.ABBCCDDA所以 ab,abb, 即正确,错误,而 a0 时,|ab|b|a|b|,故错误,正确 6当非零向量 a,b 满足_时,ab 平分以 a 与 b 为邻边的平行四边形的内 角 解析:由平面几何知识知,在平行四边形中,菱形的对角线平分其内角 答案:|a|b|7矩形 ABCD 中,|AB|,|1,则向量的长度等于_3BCABADAC解析:因为 ABCD 为矩形,所以,ABADAC所以,如图,过点 C 作,则,ABADACACACCEACACACAE所以|ABADACAE2|24.AC|AB|2|BC|2答案:48在平行四边形 ABCD 中,若|,则四边形 ABCD 是_(图形)BCBABCAB解析:如图所示,BCBABDBCABAC又|,BCBABCAB所以|,则四边形 ABCD 是矩形BDAC答案:矩形9如图所示,P,Q 是三角形 ABC 的边 BC 上两点,且 BPQC.求证:ABACAP.AQ证明:,ABAPPBACAQQC所以.ABACAPPBAQQC因为与大小相等,方向相反,PBQC所以0,PBQC故0.ABACAPAQAPAQ10如图,在重 300 N 的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线 的夹角分别为 30,60,当整个系统处于平衡状态时,求两根绳子的拉力解:如图,在平行四边形 OACB 中,AOC30,BOC60,则在OAC 中,ACOBOC60,OAC90,设向量,分别表示两根绳子的拉力,则OAOB表示物体的重力,|300 N,COCO所以|cos 30150 N,OACO3|cos 60150 N.OBCO所以与铅垂线成 30角的绳子的拉力是 150 N,3与铅垂线成 60角的绳子的拉力是 150 N. B.能力提升1设 A1,A2,A3,A4是平面上给定的 4 个不同的点,则使0 成MA1MA2MA3MA4立的点 M 的个数为( ) A0 B1 C2 D4 解析:选 B.根据所给的四个向量的和是一个零向量,即0.当 A1,A2,A3,A4是平面上给定的 4 个不同点确定以MA1MA2MA3MA4后,在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量,故选 B.2已知|3,|3,AOB60,则|( )OAOBOAOBA. B33 C2 D333解析:选 D.在平面内任取一点 O,作向量,以,为邻边作OACB,则OAOBOAOB.由题意知四边形 OACB 为菱形,又AOB60,所以|23sin OCOAOBOC603.33已知 G 是ABC 的重心,则_GAGBGC解析:如图,连接 AG 并延长交 BC 于 E,点 E 为 BC 中点,延长 AE 到 D,使 GEED,则,0,GBGCGDGDGA所以0.GAGBGC答案:04若|10,|8,则|的取值范围是_ABACBC解析:如图,固定,以 A 为起点作,则的终点 C 在以 A 为圆心,|为半径ABACACAC的圆上,由图可见,当 C 在 C1处时,|取最小值 2,当 C 在 C2处时,|取最大值 18.BCBC答案:2,18 5一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为 5 km/h.如果此船实际 向南偏西 30方向行驶 2 km,然后又向西行驶 2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?解:如图,用表示船的第一次位移,AC用表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知,CDADACCD所以可表示两次位移的和位移AD由题意知,在 RtABC 中,BAC30,所以 BC AC1,AB.123 在等腰ACD 中,ACCD2,所以DDAC ACB30,12 所以BAD60,AD2AB2,3所以两次位移的和位移的方向是南偏西 60,位移的大小为 2 km.36(选做题)在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,且|1,0,cosDAB .求|与|.ABADOAOCOBOD1 2DCBCCDBC解:因为0,OAOCOBOD所以,OACOOBDO所以四边形 ABCD 为平行四边形,又|1,知四边形 ABCD 为菱形ABAD因为 cosDAB ,DAB(0,),12所以DAB ,所以ABD 为正三角形,3所以|2|.DCBCABADACAO3|1.CDBCBDAB
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