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第二章第二章 22 2.32.3 映射映射一、选择题1下列从集合A到集合B的对应中为映射的是( )AABN N,对应法则f:xy|x2|BAR R,B0,1,对应法则f:xyError!CABR R,对应法则f:xyxDAZ Z,BQ Q,对应法则f:xy1 x答案 B解析 A中元素 2 无象,排除 A;C中一个x对应两个y,与映射定义不符,排除C;D 中元素 0 无像,排除 D,故只有 B 正确2下列对应为A到B的函数的是( )AAR R,Bx|x0,f:xy|x|BAZ Z,BN N,f:xyx2CAZ Z,BZ Z,f:xyxDA1,1,B0,f:xy0答案 D解析 由函数的定义可知,对于A,0R R,且|0|0B,故 A 不是f:AB的函数;对于 B,0Z Z,且 020N N,故 B 不是f:AB的函数;对于 C,当x0 时,如2Z Z,但无意义,2故 C 不是f:AB的函数;对于 D,是多对一的情形,符合函数的定义,是f:AB的函数3下列各图中表示的对应,其中能构成映射的个数是( )A4B3C2D1答案 D解析 所谓映射,是指“多对一”或“一对一”的对应,且A中每一个元素都必须参与对应只有图(3)所表示的对应符合映射的定义,即A中的每一个元素在对应法则下,B中都有唯一的元素与之对应4已知(x,y)在映射下的像是(xy,xy),则像(1,2)在f下的原像为( )A( , ) B( , )5 23 23 21 2C( , )D( , )3 21 23 21 2答案 D解析 根据题意得Error!,Error!.5设Ax|0x2,By|1y2,下列能表示从集合A到集合B的映射的是( )答案 D解析 对于 A,当x0,y0y|1y2,不是从A到B的映射;对于 B,当x2 时y0y|1y2,也不是从A到B的映射;对于 C,当x0 时,y1 且y2,即集合A中的一个元素 0 与集合B中的两个元素 1 和 2 相对应,所以也不是从A到B的映射;对于 D,集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应,所以是从A到B的映射6下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( )AMNR R,f:xy ,xM,yN1 xBMNR R,f:xyx2,xM,yNCMNR R,f:xy,xM,yN1 |x|xDMNR R,f:xyx3,xM,yN答案 D解析 用排除法,A 中集合M的元素 0,在f下,N中没有元素与之对应,所以这个对应不是映射;B 中集合M的元素1,在f下的像都是 1,故排除 B;C 中,负实数及 0在f下没有元素和它对应,应排除;故选 D.二、填空题7已知集合Aa,b,Bm,n,则由A到B的一一映射的个数为_答案 2解析 由题意可知如图:共有 2 个一一映射8已知f:xy|x|1 是从集合AR R 到集合B正实数的一个映射,则B中的元素 8 在A中的原像是_答案 7解析 由题意,得|x|18,|x|7,x7.B中的元素 8 在A中的原像是7.三、解答题9已知映射f:(x,y)(xy,xy)(1)求(2,3)的像;(2)求(2,3)的原像解析 (1)x2,y3,xy231,xy236,(2,3)的像是(1,6)(2)由题意Error!,解得Error!或Error!,(2,3)的原像是(3,1)或(1,3)10已知集合A0,2,4,B0,4,m2,xA,yB,映射f:AB使A中元素x和B中元素y2x对应,求实数m的值解析 由对应关系f可知,集合A中元素 0,2 分别和集合B中的元素 0,4 对应,所以集合A中的元素 4 和集合B中的元素m2对应于是m224,解得m2.2一、选择题1已知Ax|0x4,By|0y2,下列对应不表示从A到B的映射的是( )Af:xyxBf:xyx1 21 3Cf:xyxDf:xy3 2x答案 C解析 对于 A,当 0x4 时,0x2,f:xyx能构成A到B的映射;对于1 21 2B,0x ,也能构成集合A到集合B的映射;对于 C,0x6,而0,60,2,所以不1 34 33 2能构成从A到B的映射;对于选项 D,02,能构成从A到B的映射x2已知映射f:AB,其中集合A3,2,1,1,2,3,4,集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像,且对任意的aA,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的元素的个数是( )A4B5C6D7答案 A解析 aA,|a|1,2,3,4,即B1,2,3,4二、填空题3已知集合Aa,b,c,B0,1,若映射f:AB满足f(a)f(b)f(c),则这样的映射的个数是_答案 3解析 由于f(a)f(b)f(c),所以只能有f(a)0,f(b)1,f(c)1,或f(a)1,f(b)0,f(c)1,或f(a)f(b)f(c)0,即这样的映射有 3 个4下列对应是集合A到集合B的一一映射的是_(填正确序号)(1)AN N,B1,1,xA,yB,f:xy(1)x;(2)Ax|0x3,By|0y1,f:xyx;1 3(3)Ax|0x1,By|y1,f:xy ;1 x(4)A三角形,BR R,f:三角形与它面积的对应答案 (2)解析 (1)(2)(4)为映射,(3)不是映射(因为(3)中集合A中的元素 0 没有像),只有(2)是一一映射三、解答题5设f,g都是由A到A的映射(其中A1,2,3),其对应关系如下表:映射f的对应关系映射g的对应关系原像123原像123像231像213设ag(f(3),bg(g(2),cf(g(f(1)试判断a,b,c的大小关系解析 ag(f(3)g(1)2,bg(g(2)g(1)2,cf(g(f(1)f(g(2)f(1)2,abc.6下列对应是不是从A到B的函数?是不是从A到B的映射?(1)ABN N,f:x|x3|;(2)Ax|x是三角形,Bx|x是圆,f:三角形的内切圆;(3)AR R,B1,f:xy1;(4)A1,1,B1,1,f:xy .1 x解析 (1)当xN N 时,则|x3|N N,即A中的元素在B中都有像,所以(1)是映射,也是函数(2)由于A,B不是数集,所以(2)不是函数,但每个三角形都有唯一的内切圆,所以(2)是A到B的映射(3)A中的每一个数都与B中的数 1 对应,因此,(3)是A到B的函数,它是A到B的映射(4)取x0,y 没有意义,即A中元素 0 在B中没有像,所以(4)不是函数,也不是1 0映射规律技巧总结:(1)函数是一种特殊的映射,是非空数集间的一种映射(2)有的同学问:关系式y1 是y关于x的函数,那么关系式x1 是y关于x的函数吗?对于关系式x1,显然有x1,yR R,则 1 与全体实数建立对应关系,不符合函数的定义,因此, “x1”不是y关于x的函数7已知:集合Ax|2x2,Bx|1x1对应f:xyax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f:AB,求实数a的取值范围解析 当a0 时,集合A中元素的像满足2aax2a.若能够建立从A到B的映射,则2a,2a1,1,即Error!0a .1 2当a0 时,集合A中元素的像满足 2aax2a,若能建立从A到B的映射,则2a,2a1,1,即Error! a0.综合可知 a .1 21 21 2
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