两个重要极限,魏永强 清华大学数学博士,两个重要的极限,预备知识,1.有关三角函数的知识,2.有关对数函数的知识,以e为底的指数函数y=ex的反函数 y = logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为 y = ln x.,数 e 是一个无理数，它的前八位数是：,e = 2.718 281 8 ,3.有关指数运算的知识,4.无穷小量 定义 在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母,性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.,5.极限的运算法则,X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,第一个重要极限,O,x,B,A,C,D,证,解,这个结果可以作为公式使用,例 1 求,例 2,注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：,练习1. 求下列极限:,例 3,解,例 4,解,思考题,练习3：下列等式正确的是（ ）,练习4：下列等式不正确的是（ ）,练习5. 下列极限计算正确的是（ ）,练习6. 已知,当（ ）时，,为无穷小量.,，当 时，,为无穷小量,练习7. 已知,练习8.,练习9.,第二个重要极限,解 因为,所以，有,例 1,例 2,解 方法一 令 u = -x， 因为 x 0 时 u 0，,所以,方法二 掌握熟练后可不设新变量,例3,解,练习1.,解,练习2.,解,练习3.,解,两个重要极限:,小结,练 习 题,思考题,解 因为,所以令 u = x - 3 ，当 x 时 u ，,因此,附录,两个重要极限的证明,O,x,R,A,B,C,证 AOB 面积 扇形AOB 面积 AOC 面积, 即,例,两个重要极限的证明,因为,所以再次运用定理 6 即可得,重要极限1,其中的两个等号只在x=0时成立.,证,设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作,则sin x =BD，tan x=AC，,这就证明了不等式(7).,从而有,重要极限2,证,这是重要极限2常用的另一种形式.,分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。,极限综合练习题(一),例3 求下列极限：,解： 当x从0的左侧趋于0时，,当x从0的右侧趋于0时,例5 求下列极限,分析：本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的 极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。,寻找致零因式常用的方法为： 若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）； 若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。,解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。,求解。又当x0时，ax0，bx0，于是有,分析：当x0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以 ，然后看是否可利用第1个重要极限。,解法2：,分析：当 x0时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极限的运算法则，但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。,解：因当x时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到,解,1. 求极限:,极限综合练习题(二),解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即,2.求下列极限：,解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即,3. 求下列极限：,分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。 解：分子分母同除以x15，有,=2 2 + 1 = 5,解,5. 求,解,6. 求极限,解：容易算出分式分子的最高次项是 ，分式分母的最高次项是 ，所以,7. 求极限,8. 求极限,9. 设函数,问：（1）当a为何值时，f(x)在x=0右连续； （2）a ,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在； （3）当a ,b为何值时，f(x)在x=0处连续。,根据f(x) x=0处极限存在的充分必要条件：,即a=1,故当a=b=1时，f(x)在x=0处连续,解:利用第二重要极限计算，即,10. 求下列极限,