垂径定理垂径定理能力提升 1.如图,在 55 正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是( ) A.点PB.点Q C.点RD.点M 2.如图,圆心在y轴的负半轴上,半径为 5 的B与y轴的正半轴交于点A(0,1),过点P(0,- 7)的直线与B相交于C,D两点,则弦CD的长所有可能的整数值有( ) A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个(第 1 题图)(第 2 题图)3.(2015 山东东营中考)如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1 m,其中水面的宽 AB为 0.8 m,则排水管内水的深度为 m. 4.如图,若O的半径为 13 cm,点P是弦AB上一动点,且到圆心的最短距离为 5 cm,则弦AB 的长为 . 5.如图,在O中,AB,AC是互相垂直且相等的两条弦,ODAB,OEAC,垂足分别为D,E,若 AC=2 cm,则O的半径为 . (第 4 题图)(第 5 题图)6.在半径为 5 cm 的圆内有两条平行弦,一条弦长为 8 cm,另一条弦长为 6 cm,则两弦距离为 . 7.(2014 江苏南通中考)如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E.点M在O上,MD恰好经过圆 心O,连接MB. (1)若CD=16,BE=4,求O的直径; (2)若M=D,求D的度数.创新应用 8.某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2 m,拱顶高出水面 2.4 m.现有一艘宽 3 m、船舱 顶部为长方形并高出水面 2 m 的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?参考答案1.B 连接BC,分别作AB,BC的垂直平分线(图略),两条垂直平分线相交于点Q,所以这条圆 弧所在圆的圆心是点Q,故选 B. 2.C 半径为 5 的B与y轴的正半轴交于点A(0,1),可知OB=4,所以点B(0,-4).由P(0,-7),得BP=3.当弦CDAB时,弦CD最短.连接BC,由勾股定理,得CP=4,由垂径定理,得 CD=2CP=8.当弦CD是B的直径时,CD=10.所以 8CD10,所以CD的整数值为 8,9,10 共三 个.3.0.8 设圆心为O,作OCAB于点C,由垂径定理,得BC=AB=0.4.连接OB,则OB=0.5.在 Rt OBC中,由勾股定理,得OC=0.3,则排水管内水的深度为 0.3+0.5=0.8(m). 4.24 cm 点P到圆心的最短距离是 5 cm,即OPAB时,OP=5 cm,根据垂径定理,得AB=2=24(cm). 5. cm 由垂径定理,得AE=CE=AD=BD=1 cm,从而可推得四边形ADOE为正方形,OD=AD=1 cm. 再由勾股定理,得半径OA= cm. 6.1 cm 或 7 cm (1)当两弦在圆心的同侧时,如图,我们可以作OMAB于点M,交CD于点N. 在 RtOBM中,OM=4(cm), 在 RtODN中,ON=3(cm),所以MN=OM-ON=1(cm),即当两弦在圆心的同侧时,两弦距离为 1 cm. (2)当两弦在圆心的两侧时,如图,这时两弦距离为 7 cm.7.解:(1)AB是O的直径,弦CDAB,CD=16,DE=CD=8. BE=4,OE=OB-BE=OD-4. 在 RtOED中,OE2+ED2=OD2, (OD-4)2+82=OD2,解得OD=10. O的直径是 20. (2)弦CDAB,OED=90,EOD+D=90. M=D,EOD=2M, EOD+D=2M+D=90, D=30. 8.解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为R m,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂 足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高. 由题设得AB=7.2 m,CD=2.4 m,HN=MN=1.5 m.AD=AB=7.2=3.6(m), OD=OC-DC=(R-2.4)(m). 在 RtOAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=3.62+(R-2.4)2. 解得R=3.9,OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5(m). 在 RtONH中,由勾股定理,得OH=, 即OH=3.6(m).DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1(m). 2.12, 此货船能顺利通过这座拱桥.