线段的垂直平分线典型习题线段的垂直平分线典型习题【基础基础知识精讲知识精讲】一条直线经过线段中点且与该线段垂直，则称该直线为线段的垂直平分线(又称中垂线).线段的垂直平分线是一条直线，它是到线段两端距离相等的点的集合.关于这一点需从两个方面去说明，1.定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，2.它的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段中垂线上.关于 1 的证明，利用了全等三角形，而有关 2 的证明则利用等腰三角形的“三线合一”的性质.【重点难点解析重点难点解析】本节重点难点在于对“垂直平分线上的点是到线段两端距离相等的点的集合”这句话的两层含义的理解与掌握上.通过本节学习，要能很好的用中垂线解决问题.例例 1 已知ABC 中，AB，B，的中垂线分别为 l1,l2,l3（图 3.14-1）.求证 l1,l2,l3三线共点.图 3.14-1分析 可考虑先设 l1,l2,交于点 O，再设法证明 O 在 l3上，从而达到证 l1,l2,l3共点的目的.证 设 l1,l2交于 O，连 OA，OB，OC.l1为 AB 中垂线OA=OB,同理 OB=OC OA=OC O 在 AC 中垂线上.即 O 在 l3上，l1l2l3共点.注：该点叫三角形的“外心” ，它与三条中线的交点重心，三条高的交点垂心及内角平分线交点内心称为“三角形的四心”例例 2 若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形图 3.14-2分析 如图 3,14-2 P 为中垂线交点，且在 AB 上，连 PC，则 PA=PB=PC.1=A 2=B. 1+2=A+B=902180ACB=90 故选 C例例 3 如图 3.14-3,ABC 中A=120 AB=AC,AB 的中垂线交 AB 于D，BC 于 F.则= .BCBE图 3.14-3分析 A=120 AB=AC B=C=30又 DE 为中垂线 AE EA=EB EBA=EAB=30EAC=90 C=30AE=BE=EC =21 BCBE 31例例 4 如图 3.14-4，AD 为ABC 的角平分线，AD 的中垂线交 AB 于E，BC 延长线于 F，求证CAF=B.图 3.14-4分析 本题从结论入手较困难，应从 EF 为 AD 中垂线这一条件入手，得到FA=FD，即ADF 为等腰三角形，2+3=4,而4 为ABD 的外角，4=B+1,再由已知1=2 可得结论3=B.证 EF 为 AD 中垂线AF=DF 2+3=4，又4=1+B 2+3=1+B 1=23=B 即CAF=B.【难题巧解点拨难题巧解点拨】例例 1 A BC 中，A=90,AB=AC,D、E、F 分别在 AB，AC，BC 上，且 AD=AE，CD 为 EF 中垂线，求证 BF=2AD(图 3.14-5).来源:学科网 ZXXK图 3.14-5分析 由已知 CD 为 EF 的中垂线，可知CEF 为等腰三角形，1=2.D 为ACB 平分线上一点，可利用角平分线性质，作 DBC 于 G. A=90DAAC AD=DG,将线段 AD 转移到线段 DG 上，又由于B=45BDG 为等腰直角三角形 DG=BG 下面只需证明 DG=GF，即可.证DG=GF，可考虑证DGFADE.证 连 DE，DF，作 DGBC 于 G.DC 为 EF 的中垂线DE=DF,CE=CF.DCEF 1=2.又A=90 DAAC，DGBC DA=DG.又 DG=DF RtADERtGDF（HL） GF=AE又 AE=AD AD=DG=GF. A=90 AB=AC B=45在BDG 中B=45 DGB=90 BDG=45DG=BG DG=BG=GF DG=BF AD=BF.21 21例例 2 如图 3.14-6，AD 为ABC 的高，B=2C，BD=5，BC=20，求AB.图 3.14-6分析 本题巧妙地利用中垂线将线段、角进行转移，考虑 ADBC,BDDC.(BD=5,DC=15)，在 DC 上取 DE=BD，利用中垂线将求 AB 长转化为求 AE 的长，再利用B=1 及已知B=2C，将求 AE 的长巧妙地转移到求 EC 的长.解 BD=5 BC=20在 DC 上取 DE=BD=5，连 AE，ADBE，BD=DE AD 为 BE 中垂线 AB=AEB=1=2+C=2C C=2 AE=EC AB=EC又BD=DE=5 BC=20 EC=10 AB=10【同步达纲练习同步达纲练习】一、判断一、判断(4 分6=24 分)( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形.来源:学_科_网( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.( )4.四边形 ABCD 中共有一点 P，使 PA=PB=PC=PD，则A+C=180.( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上.二、选择题二、选择题(5 分6=30 分)1.到三角形三个顶点距离相等的是( )A.三条中线交点 B.三条高的交点C.三条角平分线的交点 D.三条中垂线的交点2.线段 AB 外有两点 C，D(在 AB 同侧)使 CA=CB，DA=DB，ADB=80, CAD=10,则ACB=( )A.90 B.100 C.110 D.1203.BD 为 CE 的中垂线，A 在 CB 延长线上，C=34,则ABE=( )A.17 B.34 C.68 D.1364.O 为ABC 三边中垂线的交点，则 O 称为ABC 的( )A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( )A钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形来源:学。科。网 Z。X。X。K 图 3.14-76.ABC 中，ACB=90, A=30AC 的中垂线交 AC 于 E.交 AB 于 D，(图3.14-7)则图中 60的角共有( )A6 个 B.5 个 C.4 个 D3 个三、填空三、填空(5分6=30 分)1.ABC 中，AB=AC，P 为形内一点，PB=PC，则 P 在 的中垂线上，P 还在 的平分线上.2.ABC 中，AB=AC=14，腰 AB 的中垂线交 AC 于 D，BCD 周长为 4cm,则 BC= .3.ABC 中，AB=AC，A=120,AB 中垂线交 BC 于 E，则= .BCBE4.正ABC 内一点 O 到三边距离相等，且 OA=OB=OC.则BOC= .5. ABC 的边 AC、BC 的中垂线交于 AB 上一点 O，且 OC=BC，则A= .6.若 PA=PB，DA=DB，则 PD 是 AB 的 .四、解答四、解答(8 分2=16 分)1.ABC 中，C=90,AB 的中垂线交 AB 于 D，AC 于 E.且EBC=40,求A 及BED 的度数.2.已知 O 为等边三角形三边中线交点，求证 BO 与 CO 的中垂线必三等分 BC.来源:学.科.网 Z.X.X.K【素质优化训练素质优化训练】1.AD 为ABC 的角平分线，DEAC,交 AB 于 E.过 E 作 AD 的垂线交 BC 延长线于 F(图 3.14-8),求证（BAC+AFC）=90-B.21图 3.14-8 2.如图 3.14-9，ABC 中，AB=AC，AEBC,D 为直线 AE 上任一点.求证DB+DC2AB.图 3.14-9 来源:Zxxk.Com参考答案参考答案:【同步达纲练习同步达纲练习】一、 二、D B C A C B三、1.BC,BAC 2.10 3.13 4.120 5.30 6.中垂线四、1. C=180, EBC=40 BEC=50 又 AE=BE A=25 DEB=652.提示：设 CB 中垂线交 BC 于 D，OC 中垂线交 BC 于 E，连 OD，OE.OD=BD OE=EC. 再证BOC=120 BOD=COE=30DOE=60 ODE=60 OD=OE=DE 得 BD=DE=EC.【素质优化训练素质优化训练】1.AD 为角平分线，DEAC EAD=EDA EF 为中垂线ADF=ADF=B+BAD CAF=B BAC+CAF+AFC+B=180(BAC+AFC)=90-B.212.延长 BA 至 F，使 BA=AF，连 FD，ADBC,AB=AC FAD=ABC=ACB=DAC.AF=AC FADCAD FD=DC，FD+DBFBDB+DC2AB.