第三章综合素能检测 时间 120 分钟，满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1(2015吉林省高二期末) 已知点 A(1，)，B(1，3)，则直线 AB 的倾斜角是( ) 33 A60 B30 C120 D150 答案 C 解析 直线 AB 的斜率为，则直线 AB 的倾斜角是 120. 3 3 3 113 2直线 l 过点 P(1,2)，倾斜角为 45，则直线 l 的方程为( ) Axy10 Bxy10 Cxy30 Dxy30 答案 D 解析 由题意 ktan451，直线 l 的方程为 y21(x1)，即 xy30. 3如果直线 ax2y20 与直线 3xy20 平行，则 a 的值为( ) A3 B6 C D 3 2 2 3 答案 B 解析 由题意得 a(1)230，a6. 4直线1 在 y 轴上的截距为( ) x a2 y b2 A|b| Bb2 Cb2 Db 答案 B 解析 令 x0，则 yb2. 5已知点 A(3,2)，B(2，a)，C(8,12)在同一条直线上，则 a 的值是( ) A0 B4 C8 D4 答案 C 解析 根据题意可知 kACkAB，即，解得 a8. 122 83 a2 23 6(2015福州八中高一期末)如果 AB0， 0，故 A B C B A B C B 直线 AxByC0 经过第一、二、三象限，不经过第四象限 7(2015江苏淮安高一期末) 已知点 A(1，2)，B(m,2)，且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x2y20，则实数 m 的值是( ) A2 B7 C3 D1 答案 C 解析 由已知条件可知线段 AB 的中点(，0)在直线 x2y20 上，把中点坐 1m 2 标代入直线方程，解得 m3. 8(2015兰州一中高一期末) 经过直线 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点，并且经过原点的直线方程是( ) A19x9y0 B9x19y0 C3x19y0 D19x3y0 答案 C 解析 解Error!得Error!，即直线 l1，l2的交点是(， )，由两点式可得所求直线 19 7 3 7 的方程是 3x19y0. 9已知直线(3k1)x(k2)yk0，则当 k 变化时，所有直线都通过定点( ) A(0,0) B( ， ) 1 7 2 7 C( ， ) D( ，) 2 7 1 7 1 7 1 14 答案 C 解析 直线方程变形为 k(3xy1)(2yx)0，则直线通过定点( ， ) 2 7 1 7 10(2015广东省高一期末)直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是( ) Ax2y10 B2xy10 C2xy30 Dx2y30 答案 D 解析 将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”：在直线 x2y10 上取一点 P(3,2)，点 P 关于直线 x1 的对称点 P(1,2)必在所求直线上， 只有选项 D 满足 11(2015吉林模拟) 已知直线 l 的倾斜角为 135，直线 l1经过点 A(3,2)，B(a，1)，且 l1与 l 垂直，直线 l2：2xby10 与直线 l1平行，则 ab 等于( ) A4 B2 C0 D2 答案 B 解析 因为 l 的斜率为 tan1351，所以 l1的斜率为 1，所以 kAB1， 21 3a 解得 a0.又 l1l2，所以 1，解得 b2，所以 ab2，故选 B 2 b 12等腰直角三角形 ABC 中，C90，若点 A，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点 B 的坐标可能是( ) A(2,0)或(4,6) B(2,0)或(6,4) C(4,6) D(0,2) 答案 A 解析 设 B(x，y)，根据题意可得Error!， 即Error!， 解得Error!或Error!，所以 B(2,0)或 B(4,6) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上) 13直线 l 与直线 y1，xy70 分别交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M(1，1)，则直线 l 的斜率为_. 答案 2 3 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，又 y11，y23，代入方程 y1y2 2 xy70，得 x24，即 B(4，3)，又1，x12，即 A(2,1)，kAB x1x2 2 . 31 42 2 3 14点 A(3，4)与点 B(5,8)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为_. 答案 x6y160 解析 直线 l 就是线段 AB 的垂直平分线，AB 的中点为(4,2)，kAB6，所以 kl ，所以直线 l 的方程为 y2 (x4)，即 x6y160. 1 6 1 6 15若动点 A，B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为_. 答案 3 2 解析 依题意，知 l1l2，故点 M 所在直线平行于 l1和 l2，可设点 M 所在直线的方 程为 l：xym0，根据平行线间的距离公式，得 |m7|m5|m6，即 l：xy60，根据点到直线的距离公式， |m7| 2 |m5| 2 得 M 到原点的距离的最小值为3. |6| 22 16(2009高考全国卷)若直线 m 被两平行线 l1：xy10 与 l2：xy30 所截 得的线段的长为 2，则 m 的倾斜角可以是15 30 45 60 75，其中正 2 确答案的序号是_.(写出所有正确答案的序号) 答案 解析 两平行线间的距离为 d， |31| 112 由图知直线 m 与 l1的夹角为 30，l1的倾斜角为 45， 所以直线 m 的倾斜角等于 304575或 453015. 点评 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合 的思想是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵 活、思想深刻，这一问题还是不难解决的所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想 是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变 三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 17(本小题满分 10 分)(2015河南省郑州市高一上学期期末试题)已知直线 l 经过点 P(2,5)且斜率为 ， 3 4 (1)求直线 l 的方程； (2)若直线 m 平行于直线 l，且点 P 到直线 m 的距离为 3，求直线 m 的方程 解析 (1)直线 l 的方程为：y5 (x2)整理得 3 4 3x4y140. (2)设直线 m 的方程为 3x4yn0， d3， |3 24 5n| 3242 解得 n1 或29. 直线 m 的方程为 3x4y10 或 3x4y290. 18(本小题满分 12 分)求经过两直线 3x2y10 和 x3y40 的交点，且垂直于 直线 x3y40 的直线方程 解析 解法一：设所求直线方程为 3x2y1(x3y4)0，即(3)x(32) y(14)0. 由所求直线垂直于直线 x3y40，得 ()1. 1 3 3 32 解得 . 3 10 故所求直线方程是 3xy20. 解法二：设所求直线方程为 3xym0. 由Error!解得Error! 即两已知直线的交点为(1，1) 又 3xym0 过点(1，1)， 故31m0，m2. 故所求直线方程为 3xy20. 19(本小题满分 12 分)已知 A(4，3)，B(2，1)和直线 l：4x3y20，求一点 P，使|PA|PB|，且点 P 到直线 l 的距离等于 2. 分析 解决此题可有两种思路，一是代数法，由“|PA|PB|”和“到直线的距离为 2”列方程求解；二是几何法，利用点 P 在 AB 的垂直平分线上及距离为 2 求解 解析 解法 1：设点 P(x，y)因为|PA|PB|， 所以. x42y32x22y12 又点 P 到直线 l 的距离等于 2， 所以2. |4x3y2| 5 由联立方程组，解得 P(1，4)或 P(， ) 27 7 8 7 解法 2：设点 P(x，y)因为|PA|PB|， 所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 由题意知 kAB1，线段 AB 的中点为(3，2)，所以线段 AB 的垂直平分线的方程是 yx5. 所以设点 P(x，x5) 因为点 P 到直线 l 的距离等于 2，所以2. |4x3x52| 5 解得 x1 或 x. 27 7 所以 P(1，4)或 P(， ) 27 7 8 7 点评 解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要 将题目中的几何条件用坐标表示出来，即可转化为方程的问题其中解法 2 是利用了点 P 的几何特征产生的结果，所以解题时注意多发现，多思考 20(本小题满分 12 分)(2015甘肃兰州一中期末) ABC 中，A(0,1)，AB 边上的高 CD 所在直线的方程为 x2y40，AC 边上的中线 BE 所在直线的方程为 2xy30. (1)求直线 AB 的方程； (2)求直线 BC 的方程； (3)求BDE 的面积 解析 (1)由已知得直线 AB 的斜率为 2， AB 边所在的直线方程为 y12(x0)， 即 2xy10. (2)由Error!得Error! 即直线 AB 与直线 BE 的交点为 B( ，2) 1 2 设 C(m，n)， 则由已知条件得Error! 解得Error!C(2,1) BC 边所在直线的方程为，即 2x3y70. y1 21 x2 1 22 (3)E 是线段 AC 的中点，E(1,1) |BE|， 1 212212 5 2 由Error!得Error! D( ， )， 2 5 9 5 D 到 BE 的距离为 d， |2 2 5 9 53| 2212 2 5 5 SBDE d|BE|. 1 2 1 10 21(本小题满分 12 分)直线过点 P( ，2)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点， 4 3 O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： (1)AOB 的周长为 12； (2)AOB 的面积为 6. 若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由 解析 设直线方程为 1(a0，b0)， x a y b 若满足条件(1)，则 ab12， a2b2 又直