第四章综合素能检测 时间 120 分钟，满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1圆 x2y2xy 0 的半径是( ) 3 2 A1 B 2 C2 D2 2 答案 B 解析 (x )2(y )22，r，故选 B 1 2 1 22 2圆 O1：x2y22x0 与圆 O2：x2y24y0 的位置关系是( ) A外离 B相交 C外切 D内切 答案 B 解析 圆 O1(1,0)，r11，圆 O2(0,2)， r22，|O1O2|12，且21，故两圆相交 1020225 5 3圆 x22xy24y30 上到直线 xy10 的距离为的点共有( ) 2 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 答案 B 解析 将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y2)2(2)2，圆心(1，2)到直线 2 xy10 的距离 d，则到直线 xy10 的距离为的两条平行线与 |121| 222 圆的公共点的个数即为所求由于圆的半径为 2，所以到直线 xy10 的距离为的 22 平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条直线与圆有 3 个交点 4设直线过点(a,0)，其斜率为1，且与圆 x2y22 相切，则 a 的值为( ) A B2 2 C2 D4 2 答案 B 解析 切线的方程是 y(xa)，即 xya0，a2. |a| 22 5已知点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4)，且|AB|2，则实数 x 的值是( ) 6 A3 或 4 B6 或 2 C3 或4 D6 或2 答案 D 解析 由空间两点间的距离公式得 2，解得 x6 或 x2. x221322426 6当 a 为任意实数时，直线(a1)xya10 恒过定点 C，则以 C 为圆心，为 5 半径的圆的方程为( ) Ax2y22x4y0 Bx2y22x4y0 Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0 答案 C 解析 由(a1)xya10 得 a(x1)(xy1)0， 所以直线恒过定点(1,2)， 所以圆的方程为(x1)2(y2)25， 即 x2y22x4y0. 7直线 l1：yxa 和 l2：yxb 将单位圆 C：x2y21 分成长度相等的四段弧， 则 a2b2( ) A B2 2 C1 D3 答案 B 解析 依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的 ，即 1 4 ，1cos45，所以 a2b21，故 a2b22. |a| 2 |b| 2 |a| 2 2 2 8(2015山东威海模拟) 若直线 ykx1 与圆 x2y21 相交于 P，Q 两点，且POQ120(其中 O 为原点)， 则 k 的值为( ) A或 B 333 C或 D 222 答案 A 解析 方法 1：|PQ|21sin60，圆心到直线的距离 d ， 3 1 3 2 2 1 2 ，解得 k. 1 k21 1 23 方法 2：利用数形结合如图所示，直线 ykx1 过定点(0,1)， 而点(0,1)在圆 x2y21 上，故不妨设 P(0,1)，在等腰三角形 POQ 中， POQ120，QPO30，故PAO60，k，即直线 PA 3 的斜率为.同理可求得直线 PB 的斜率为. 33 9(2013重庆) 设 P 是圆(x3)2(y1)24 上的动点，Q 是直线 x3 上的动点，则|PQ|的最小值 为( ) A6 B4 C3 D2 答案 B 解析 |PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径因为圆的圆心为(3，1)，半径 为 2，所以|PQ|的最小值 d3(3)24. 10(2015全国卷)已知三点 A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC 外接圆的圆心 33 到原点的距离为( ) A B 5 3 21 3 C D 2 5 3 4 3 答案 B 解析 ABC 外接圆圆心在直线 BC 垂直平分线上即直线 x1 上，设圆心 D(1，b)， 由 DADB 得|b|b，所以圆心到原点的距离 d.故 1b 32 2 2 3 12 2 2 3 2 21 3 选 B 11(2013山东) 过点(3,1)作圆(x1)2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为( ) A2xy30 B2xy30 C4xy30 D4xy30 答案 A 解析 根据平面几何知识，直线 AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的 斜率为 ，故直线 AB 的斜率一定是2，只有选项 A 中直线的斜率为2. 1 2 12若圆 C：x2y24x4y100 上至少有三个不同的点到直线 l：xyc0 的 距离为 2，则 c 的取值范围是( ) 2 A2，2 B(2，2) 2222 C2,2 D(2,2) 答案 C 解析 圆 C：x2y24x4y100 整理为(x2)2(y2)2(3)2，圆心坐标为 2 C(2,2)，半径长为 3，要使圆上至少有三个不同的点到直线 l：xyc0 的距离为 2 3，如右图可知圆心到直线 l 的距离应小于等于，d，解得 22 |22c| 11 |c| 22 |c|2，即2c2. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上) 13已知点 A(1,2,3)，B(2，1,4)，点 P 在 y 轴上，且|PA|PB|，则点 P 的坐标是 _ _. 答案 7 6 解析 设点 P(0，b,0)，则 1022b2302 ，解得 b . 2021b2402 7 6 14已知圆 C1：x2y26x70 与圆 C2：x2y26y270 相交于 A、B 两点，则 线段 AB 的中垂线方程为_ _. 答案 xy30 解析 AB 的中垂线即为圆 C1、圆 C2的连心线 C1C1.又 C1(3,0)，C2(0,3)，所以 C1C2 所在直线的方程为 xy30. 15过点 A(1，)的直线 l 将圆(x2)2y24 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小 2 时，直线 l 的斜率 k_ _. 答案 2 2 解析 点 A(1，)在圆(x2)2y24 内，当劣弧所对的圆心角最小时，l 垂直于过 2 点 A(1，)和圆心 M(2,0)的直线 2 k. 1 kAM 21 0 2 2 2 16(2015江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_ _. 答案 (x1)2y22. 解析 由题意得：半径等于，所以所求圆为 |m1| m21 m12 m21 1 2m m212 (x1)2y22. 三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 17(本小题满分 10 分)求经过两点 A(1,4)，B(3,2)且圆心 C 在 y 轴上的圆的方程 解析 AB 的中点是(1,3)，kAB ， 42 13 1 2 AB 的垂直平分线方程为 y32(x1)， 即 2xy10. 令 x0，得 y1， 即圆心 C(0,1) 所求圆的半径为|AC|. 1241210 所求圆的方程为 x2(y1)210. 18(本小题满分 12 分)(2015宁波高一检测)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，M 为 BD1的中点，N 在 A1C1上，且|A1N|3|NC1|，试求 MN 的长 解析 以 D 为原点建立如图所示坐标系， 则 B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a) 由于 M 为 BD1的中点，所以 M( ， )，取 A1C1中点 O1，则 O1( ，a)， a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 因为|A1N|3|NC1|，所以 N 为 O1C1的中点， 故 N( ， a，a) a 4 3 4 由两点间的距离公式可得： |MN| a 2 a 42 a 2 3 4a2 a 2a2 a. 6 4 规律总结：空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离公式求解 19(本小题满分 12 分)已知过点 A(1,0)的动直线 l 与圆 C：x2(y3)24 相交于 P，Q 两点，M 是 PQ 的中点，l 与直线 m：x3y60 相交于 N. (1)求证：当 l 与 m 垂直时，l 必过圆心 C； (2)当|PQ|2时，求直线 l 的方程 3 解析 (1)证明：因为 l 与 m 垂直，且 km ，所以 kl3，故直线 l 的方程为 1 3 y3(x1)，即 3xy30. 因为圆心坐标为(0,3)满足直线 l 方程， 所以当 l 与 m 垂直时，l 必过圆心 C (2)解：当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x1 符合题意 当直线 l 与 x 轴不垂直时， 设直线 l 的方程为 yk(x1)，即 kxyk0， 因为|PQ|2， 3 所以|CM|1， 43 则由|CM|1，得 k ， |k3| k21 4 3 所以直线 l：4x3y40. 故直线 l 的方程为 x1 或 4x3y40. 20(本小题满分 12 分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东 300 km 处，以 40 km/h 的速度向北偏西 60方向移动据测定，距台风中心 250 km 的圆形区域内部都将 受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间 解析 以该市所在位置 A 为原点，正东方向为 x 轴的正方向，正北方向为 y 轴的正 方向建立直角坐标系开始时台风中心在 B(300,0)处，台风中心沿倾斜角为 150方向直线 移动，其轨迹方程为 y(x300)(x300)该市受台风影响时，台风中心在圆 3 3 x2y22502内，设直线与圆交于 C，D 两点，则|CA|AD|250，所以台风中心到达 C 时， 开始受影响该市，中心移至点 D 时，影响结束，作 AHCD 于点 H，则 |AH|150，|CD|2400，t10(h)即台风对该市的影响持 100 3 1 31|AC|2|AH|2 400 4 续时间为 10 小时 21(本小题满分 12 分)(2011新课标全国改编) 已知点(0,1)，(32，0)，(32，0)在圆 C 上 22 (1)求圆 C 的方程； (2)若圆 C 与直线 xya0 交于 A，B 两点，且 OAOB，求 a 的值 解析 (1)由题意可设圆 C