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1.41.4 数据的数字特征数据的数字特征一、教学背景分析在义务教育阶段,学生已经通过实例,学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等,并能解决简单的实际问题。 (由于义务教育阶段大纲中对统计部分的要求与标准的要求相差较大,若是承接现行大纲的话,建议先补充标准中第三学段相应部分的内容。 )在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差,并在学习中不断地体会它们各自的特点,在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。二、教学目标1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义,并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息,培养学生解决问题的能力。2、通过实例理解数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差,提高学生的运算能力。三、教学重、难点教学重点:平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。教学难点:根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。四、设计思路(1) 、教法构想本节教学设计依据课程标准,在义务教育阶段的基础上,进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。通过具体的实例,让学生理解数字特征的意义,并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。 (2)学法指导学生自主探究,交流合作,教师归纳总结相结合。五、教学实施导入新课 提出问题:小明开设了一个生产玩具的小工厂,管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成。工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营的很顺利,需增加一个新工人,小亮需要一份工作,应征而来与小明交谈。小明说:“我们这里报酬不错,平均薪金是每周 300 元。你在学徒期每周 75 元,不过很快就可以加工资了。 ”小亮工作几天后找到小明说:“你欺骗了我,我已经找其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周 100 元,平均工资怎么可能是一周 300 元呢?”小名说:“小亮啊,不要激动,平均工资是 300 元,你看,这是一张工资表。 ”工资表如下:这到底是怎么了?(学生思考交流)教师点出课题:数据的数字特征推进新课 、新知探究提出问题1、什么叫平均数?有什么意义?2、什么叫中位数?有什么意义?3、什么叫众数?有什么意义?4、什么叫极差?有什么意义?5、什么叫方差?有什么意义?6、什么叫标准差?有什么意义?讨论结果:1、一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数。数据的平均数为。平均数对数据有“取齐”的作12,nx xx12nxxxxn用,代表该组数据的平均水平。2、一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于中间位置的数称为这组数据的中位数。一组数据的中位数是唯一的,反映了数据的集中趋势。3、一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。一组数据中的众数可能不人 员小明小明弟亲戚领工工人周工资24001000250200100人 数1 1 6 5 10合 计24001000150010001000止一个,也可能没有,反映了数据的集中趋势。4、一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差,表示该组数据之间的差异情况。5、方差是样本数据到平均数的平均距离,一般用表示,通常用公式2s来计算。反映了数据的离散程度。2222 121()()() nsxxxxxxn方差越大,数据的离散程度越大。方差越小数据的离散程度越小。6、标准差等于方差的正的平方根,即,与方差的作用相同,描述一组数2ss据围绕平均数的波动程度的大小。、应用示例例 1 某公司员工的月工资情况如表所示:月工资/元80005000400020001000800700600500员工/人1 2 4 6 12 8 20 5 2(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况?税务官呢?工会领导呢?解:(1)经计算可以得出:该公司员工月工资的平均数为 1373 元,中位数为 800 元,众数为 700 元。(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高,采用平均数;而税务官希望取中位数,以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利;工会领导则主张用众数,因为每月拿 700 元的员工最多。点评:平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量,它是反映数据平均水平最常用的统计量;中位数将观测数据分成相同数目的两部分,其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大,对于非对称的数据集,中位数更实际地描述了数据的中心;当变量是分类变量时,众数往往经常被使用。变式训练1、下表是某班 40 名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表:分数0 1 2 3 4 5 人数4 710 x8y请参照这个表解答下列问题:(1)用含 x,y 的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分;f(2)若该班这次竞赛的平均分为分,求的值。2.5, x y解:(1);3559 40xyf(2)依题意,有解得3541 11xy x y 7 4xy 例 2 甲、乙两台机床同时生产直径是 40mm 的零件。为了检验产品质量,从两台机床生产的产品中各抽取 10 件进行测量,结果如下表所示甲40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的 10 件产品直径的标准差。 解:从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这 10 件产品直径的平均值。40()xxmm乙甲我们分别计算它们直径的标准差:222(4040)(39.840)(39.840) /100.161()smm甲222(4040)(4040)(39.940) /100.077()smm乙由上面的计算可以看出:甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同,而甲机床生产的产品直径的标准差为 0.161mm,比乙机床的标准差 0.077mm 大,说明乙机床生产的零件更标准些,即乙机床的生产过程更稳定一些。点评:对数据数字特征内容的评价,应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用,而不是记忆和使用的熟练程度。、知能训练1、下列说法正确的是(D )A.甲、乙两班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样。B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好。C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习甲班比乙班好。D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习甲班比乙班好。2、 (2007 海南高考,理 11)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表: 甲的成绩:环数78910频数5555乙的成绩:环数78910频数6446丙的成绩:环数78910频数4664分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差,则有(C)123sss、A. B. C. D.123sss312sss213sss231sss3、某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 -3 、拓展提升甲、乙两种玉米苗各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位:cm)甲25414037221419392142乙27164427441640401640问:(1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐?解:(1), ,即乙种玉米的苗长得高。30()xcm甲31()xcm乙xx乙甲(2)222222104.2(),128.8()scmscmss乙甲乙甲即甲种玉米的苗长得齐。、课堂小结本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用,让学生体会所学内容与现实世界的密切联系。、作业课本 3031 页 习题 14 1、2。六、板书设计4 数据的数字特征 3、应用示例 4、知能训练 1、问题提出 例 1 5、拓展提升 2、数字特征的定义 例 2与意义 变式训练 6、小 结七、设计体会统计的学习,本质上是统计活动的学习,而不是概念和公式的学习。因此在本节教学设计中所采用的数据和问题情境尽可能来源于实际,充分挖掘学生生活中与数据有关的素材,使他们体会所学内容与现实世界的密切联系。另外,在教学活动中,还要特别加强小组活动的组织与教学,并在活动的过程中引导学生逐步体会统计的作用和基本思想。
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