第一章第一章 算法初步算法初步本章教材分析本章教材分析算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学 的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题. 通过算法的学习,对完善数学的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能 力，增强进行实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉 的算法入手，通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老 算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为 计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习 热情.在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会 生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建 模”也是高考考查重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想” ， 从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章： （1）知识间的联系； （2）数学思想方法； （3）认知规律.本章教学时间约需 12 课时，具体分配如下（仅供参考）：1.1.1 算法的概念约 1 课时1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构约 4 课时1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句约 1 课时1.2.2 条件语句约 1 课时1.2.3 循环语句约 1 课时1.3 算法案例约 3 课时本章复习约 1 课时1.11.1 算法与程序框图算法与程序框图 1.1.11.1.1 算法的概念算法的概念 整体设计整体设计 教学分析教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作 了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. ”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程 出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法. 教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固. 三维目标三维目标 1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点. 2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路. 3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣. 重点难点重点难点 教学重点：算法的含义及应用. 教学难点：写出解决一类问题的算法.课时安排课时安排 1 课时 教学过程教学过程 导入新课导入新课思路 1（情境导入）一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没 有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？ 请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容算法.思路 2（情境导入）大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共 分几步？ 答案：答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.思路 3（直接导入）算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里， 计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画 卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开 始. 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 （1）解二元一次方程组有几种方法？（2）结合教材实例总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤. )2(, 12) 1 ( , 12yxyx（3）结合教材实例总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤. )2(, 12) 1 ( , 12yxyx（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤. （5）根据上述实例谈谈你对算法的理解. （6）请同学们总结算法的特征. （7）请思考我们学习算法的意义. 讨论结果：讨论结果： （1）代入消元法和加减消元法. （2）回顾二元一次方程组的求解过程，我们可以归纳出以下步骤： )2(, 12) 1 ( , 12yxyx第一步，+2，得 5x=1.第二步，解，得 x=.51第三步，-2，得 5y=3.第四步，解，得 y=.53第五步，得到方程组的解为 .53,51yx(3)用代入消元法解二元一次方程组我们可以归纳出以下步骤： )2(, 12) 1 ( , 12yxyx第一步，由得 x=2y1. 第二步，把代入，得 2(2y1)+y=1.第三步，解得 y=.53第四步，把代入，得 x=21=.53 51第五步，得到方程组的解为 .53,51yx(4)对于一般的二元一次方程组 )2( ,) 1 ( ,222111 cybxacybxa其中 a1b2a2b10,可以写出类似的求解步骤：第一步，b2-b1，得（a1b2a2b1）x=b2c1b1c2.第二步，解，得 x=.12212112 babacbcb 第三步，a1-a2，得（a1b2a2b1）y=a1c2a2c1.第四步，解，得 y=.12211221 babacaca 第五步，得到方程组的解为 .,1221122112212112babacacaybabacbcbx(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使 用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题. (6)算法的特征：确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指 不是可有可无的，甚至无用的步骤， “不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确， “前一步”是 “后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.有穷性：算法要有明确的开始和 结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完 成任务，不能无限制地持续进行. (7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称 为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般 是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总 能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础. 应用示例应用示例 思路思路 1 1 例 1 （1）设计一个算法，判断 7 是否为质数. （2）设计一个算法，判断 35 是否为质数. 算法分析：算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用 26 除 7，如果它们中有一个 能整除 7，则 7 不是质数，否则 7 是质数. 算法如下：算法如下：（1）第一步，用 2 除 7，得到余数 1.因为余数不为 0，所以 2 不能整除 7. 第二步，用 3 除 7，得到余数 1.因为余数不为 0，所以 3 不能整除 7. 第三步，用 4 除 7，得到余数 3.因为余数不为 0，所以 4 不能整除 7. 第四步，用 5 除 7，得到余数 2.因为余数不为 0，所以 5 不能整除 7. 第五步，用 6 除 7，得到余数 1.因为余数不为 0，所以 6 不能整除 7.因此，7 是质数. （2）类似地，可写出“判断 35 是否为质数”的算法：第一步，用 2 除 35，得到余数 1.因 为余数不为 0，所以 2 不能整除 35. 第二步，用 3 除 35，得到余数 2.因为余数不为 0，所以 3 不能整除 35. 第三步，用 4 除 35，得到余数 3.因为余数不为 0，所以 4 不能整除 35. 第四步，用 5 除 35，得到余数 0.因为余数为 0，所以 5 能整除 35.因此，35 不是质数. 点评：点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断 35 是否为质数还可以，如果判断 1997 是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤. 变式训练变式训练请写出判断 n(n2)是否为质数的算法. 分析：分析：对于任意的整数 n(n2)，若用 i 表示 2(n-1)中的任意整数，则“判断 n 是否为质 数”的算法包含下面的重复操作：用 i 除 n,得到余数 r.判断余数 r 是否为 0，若是，则不 是质数；否则，将 i 的值增加 1，再执行同样的操作.这个操作一直要进行到 i 的值等于(n-1)为止.算法如下：第一步，给定大于 2 的整数 n.第二步，令 i=2.第三步，用 i 除 n,得到余数 r.第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则 n 不是质数，结束算法；否则，将 i 的值增 加 1，仍用 i 表示.第五步，判断“i（n-1） ”是否成立.若是，则 n 是质数，结束算法；否则，返回第 三步. 例 2 写出用“二分法”求方程 x2-2=0 (x0)的近似解的算法. 分析：分析：令 f(x)=x2-2,则方程 x2-2=0 (x0)的解就是函数 f(x)的零点.“二分法”的基本思想是：把函数 f(x)的零点所在的区间a,b(满足 f(a)f(b) 0） “一分为二” ，得到a,m和m,b.根据“f(a)f(m)0”是否成立，取出零点所在 的区间a,m或m,b ，仍记为a,b.对所得的区间a,b重复上述步骤，直到包含零点的区间a,b “足够小” ，则a,b内的数可以作为方程的近似解. 解：解：第一步，令 f(x)=x2-2,给定精确度 d. 第二步，确定区间a,b ，满足 f(a)f(b)0.第三步，取区间中点 m=.2ba 第四步，若 f(a)f(m)0，则含零点的区间为a,m ；否则，含零点的区间为m,b.将 新得到的含零点的区间仍记为a,b. 第五步，判断a,b的长度是否小于 d 或 f(m）是否等于 0.若是，则 m 是方程的近似解； 否则，返回第三步. 当 d=0.005 时，按照以上算法，可以得到下表.ab|a-b|12111.50.51.251.50.251.3751.50.1251.3751.437 50.062 51.406 251.437 50.031 251.406 251.421 8750.015 6251.414 062 51.421 8750.007 812 51.414 062 51.417 968 750.003 906 25于是，开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确度为 0.005 时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求的近似值的一个算法.2点评：点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算 出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机 来完成，实际上处理任何问题都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的 评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一 系列的先后手续，购买物品也有相关的手续 思路思路 2 2 例 1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物， 没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？ 请设计算法. 分析：分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都 得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，