习题课习题课 直线、平面平行与垂直直线、平面平行与垂直【课时目标】 1能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证 明2进一步体会化归思想在证明中的应用a、b、c表示直线，、表示平面 位置关系判定定理(符号语言)性质定理(符号语言) 直线与平面平行ab且_aa，_ab平面与平面平行a，b，且 _，_ab直线与平面垂直la，lb，且 _la，b_平面与平面垂直a， ，a，_ _ b一、选择题 1不同直线M、n和不同平面、给出下列命题： Error!M； Error!n； Error!M，n异面； Error!M 其中假命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 2下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面 平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行其中正确命 题的个数有( ) A4 B1 C2 D3 3若a、b表示直线，表示平面，下列命题中正确的个数为( ) a，bab；a，abb； a，abb A1 B2 C3 D0 4过平面外一点P：存在无数条直线与平面平行；存在无数条直线与平面 垂直；有且只有一条直线与平面平行；有且只有一条直线与平面垂直，其中真 命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 5如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总 是保持APBD1，则动点P的轨迹是( )A线段B1C B线段BC1 CBB1的中点与CC1的中点连成的线段DBC的中点与B1C1的中点连成的线段 6已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC外，PH面 ABC于H，则垂足H是ABC的( ) A外心 B内心 C垂心 D重心二、填空题 7三棱锥DABC的三个侧面分别与底面全等，且ABAC，BC2，则二面角3 ABCD的大小为_ 8如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对” ， 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的 个数是_ 9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个 面上的射影可能是_(填序号)三、解答题 10如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA 的中点，求证： (1)DEDA； (2)平面BDM平面ECA； (3)平面DEA平面ECA11如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B (1)证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点且A1B平面B1CD，求的值A1D DC1能力提升 12四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图： (1)根据图中的信息，在四棱锥PABCD的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填 写在空格处(每空只要求填一种)： 一对互相垂直的异面直线_； 一对互相垂直的平面_； 一对互相垂直的直线和平面_； (2)四棱锥PABCD的表面积为_13如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形， AB2EF2，EFAB，EFFB，BFC90，BFFC，H为BC的中点 (1)求证：FH平面EDB； (2)求证：AC平面EDB； (3)求四面体BDEF的体积转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为即利用线线平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明面面平行(垂直)；反过来，又利 用面面平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直)，甚至平行与垂直之间的 转化这样，来来往往，就如同运用“四渡赤水”的战略战术，达到了出奇制胜的目的习题课习题课 直线、平面平行与垂直直线、平面平行与垂直 答案答案知识梳理 a，b a，b a，b，abP a，b a，b，abP ab a ba，b 作业设计 1D 命题正确，面面平行的性质；命题不正确，也可能 n；命题不正确， 如果 m、n 有一条是 、 的交线，则 m、n 共面；命题不正确，m 与 的关系不确 定 2C (2)和(4)对 3A 正确 4B 正确 5A 连接 AC，AB1，B1C， BDAC，ACDD1， BDDD1D， AC面 BDD1，ACBD1， 同理可证 BD1B1C， BD1面 AB1C PB1C 时，始终 APBD1，选A 6C 如图所示，由已知可得 PA面 PBC，PABC，又 PHBC， BC面 APH，BCAH 同理证得 CHAB，H 为垂心790 解析 由题意画出图形，数据如图，取 BC 的中点 E， 连接 AE、DE，易知AED 为二面角 ABCD 的平面角 可求得 AEDE，由此得 AE2DE2AD22 故AED90 836 解析 正方体的一条棱长对应着 2 个“正交线面对” ，12 条棱长共对应着 24 个“正交 线面对” ；正方体的一条面对角线对应着 1 个“正交线面对” ，12 条面对角线对应着 12 个 “正交线面对” ，共有 36 个 9 10证明 (1)如图所示， 取 EC 的中点 F，连接 DF，EC平面 ABC， ECBC，又由已知得 DFBC，DFEC在RtEFD 和RtDBA 中，EF ECBD，1 2 FDBCAB， RtEFDRtDBA， 故 EDDA(2)取 CA 的中点 N，连接 MN、BN，则 MN 綊 EC，1 2 MNBD，N 在平面 BDM 内， EC平面 ABC，ECBN又 CABN， BN平面 ECA，BN平面 MNBD， 平面 MNBD平面 ECA 即平面 BDM平面 ECA(3)BD 綊 EC，MN 綊 EC，1 21 2 BD 綊 MN， MNBD 为平行四边形， DMBN，BN平面 ECA， DM平面 ECA，又 DM平面 DEA， 平面 DEA平面 ECA 11(1)证明 因为侧面 BCC1B1是菱形，所以 B1CBC1又 B1CA1B，且 A1BBC1B， 所以 B1C平面 A1BC1又 B1C平面 AB1C，所以平面 AB1C平面 A1BC1 (2)解 设 BC1交 B1C 于点 E，连接 DE，则 DE 是平面 A1BC1与平面 B1CD 的交线 因为 A1B平面 B1CD，所以 A1BDE 又 E 是 BC1的中点，所以 D 为 A1C1的中点，即1A1D DC1 12(1)PABC(或 PACD 或 ABPD) 平面 PAB平面 ABCD(或平面 PAD平面 ABCD 或平面 PAB平面 PAD 或平面 PCD平面 PAD 或平面 PBC平面 PAB) PA平面 ABCD(或 AB平面 PAD 或 CD平面 PAD 或 AD平面 PAB 或 BC平面 PAB) (2)2a2a22 解析 (2)依题意：正方形的面积是 a2，SPABSPAD a21 2又 PBPDa，SPBCSPCDa2222 所以四棱锥 PABCD 的表面积是 S2a2a22 13(1)证明 如图，设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点连接 EG，GH，由于 H 为 BC 的中点，故 GH 綊 AB1 2又 EF 綊 AB，EF 綊 GH四边形 EFHG 为平行四边形EGFH而 EG平面1 2 EDB，FH平面 EDB， FH平面 EDB (2)证明 由四边形 ABCD 为正方形，得 ABBC 又 EFAB，EFBC 而 EFFB，EF平面 BFC EFFHABFH 又 BFFC，H 为 BC 的中点，FHBC FH平面 ABCDFHAC 又 FHEG，ACEG又 ACBD，EGBDG， AC平面 EDB (3)解 EFFB，BFC90BF平面 CDEF BF 为四面体 BDEF 的高 又 BCAB2，BFFC2VBDEF 1 1 31 2221 3