第一章第一章 推理与证明推理与证明1 归纳与类比归纳与类比11 归纳推理归纳推理一、基础过关1 数列 5,9,17,33，x，中的 x 等于( )A47 B65 C63 D1282 观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)等于 ( )Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)3 f(n)1 (nN*)，计算得 f(2) ，f(4)2，f(8) ，f(16)3，f(32) ，推12131n325272测当 n2 时，有_4 已知 sin230sin290sin2150 ，sin25sin265sin2125 . 通过观察上述两等3232式的规律，请你写出一个一般性的命题：_.5 已知 a13，a26 且 an2an1an，则 a33_.二、能力提升6 设 xR，且 x0，若 xx13，猜想 x2nx2n(nN*)的个位数字是_7 如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为_8 如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，则这个数列的一个通项公式为_9 如图所示，图(a)是棱长为 1 的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第 1 层，第 2 层，第 n 层第 n层的小正方体的个数记为 Sn.解答下列问题：(1)按照要求填表：n1234Sn136(2)S10_. (3)Sn_.10传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1,3,6,10，记为数列an，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：(1)b2 012是数列an中的第_项；(2)b2k1_.(用 k 表示)11已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11 且 Sn120(n2)，计算1SnS1，S2，S3，S4，并猜想 Sn的表达式12一条直线将平面分成 2 个部分，两条直线最多将平面分成 4 个部分(1)3 条直线最多将平面分成多少部分？(2)设 n 条直线最多将平面分成 f(n)部分，归纳出 f(n1)与 f(n)的关系；(3)求出 f(n)三、探究与拓展13在一容器内装有浓度为 r%的溶液 a 升，注入浓度为 p%的溶液 a 升，搅匀后再倒出14溶液 a 升，这叫一次操作，设第 n 次操作后容器内溶液的浓度为 bn，计算14b1、b2、b3，并归纳出计算公式答案答案1B 2.D 3f(2n) 4sin2(60)sin2sin2(60) 53 67n22327 8an3n1(nN*) 9(1)10 (2)55 (3) 10(1)5 030 (2)nn125k5k1211解 当 n1 时，S1a11；当 n2 时，2S13，1S2S2 ；13当 n3 时，2S2 ，1S353S3 ；35当 n4 时，2S3 ，1S475S4 .57猜想：Sn(nN*)2n32n112解 (1)3 条直线最多将平面分成 7 个部分(2)f(n1)f(n)n1.(3)f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)n(n1)(n2)22.n2n2213解 b1( r p)；ar100a4p100aa411004515b2( )2r pp；ab1a4p100aa411004515452b3( )3r pppab2a4p100aa411004515452453归纳得 bn( )nr ppp110045154524n15n