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1.4 导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用一、基础过关1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油温度(单位:)为 f(x) x3x28(0x5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是13_2设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时底面边长为_3从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为_ cm3.4用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为_5要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则其高为_ cm.6如图所示,某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为_二、能力提升7某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费 y2与到车站的距离成正比如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站_千米处8为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长为 a 米,高为 b 米已知流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当a_,b_时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B 孔的面积忽略不计)9如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为 18 000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?10某商场预计 2010 年从 1 月份起前 x 个月,顾客对某种商品的需求总量 p(x)件与月份 x的近似关系是p(x) x(x1)(392x)(xN*,且 x12)12该商品的进价 q(x)元与月份 x 的近似关系是q(x)1502x(xN*,且 x12),(1)写出今年第 x 月的需求量 f(x)件与月份 x 的函数关系式;(2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元?11一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为 20 km/h时,每小时消耗的煤价值 40 元,其他费用每小时需 200 元,火车的最高速度为 100 km/h,火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?三、探究与拓展12某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且 l2r.假设该容器的803建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元设该容器的建造费用为 y 千元(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的 r.答案答案112.34V31444128 000 cm35.20 33632 米,16 米7586 39解 设广告的高和宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x20,其中y252x20,y25.两栏面积之和为 2(x20)18 000,y252由此得 y25.18 000x20广告的面积 Sxyx(25)25x.18 000x2018 000xx20S2525.18 000x20xx202360 000x202令 S0 得 x140,令 S0;当 50.320当 x10时,f(x)有最小值,320即速度为 10 km/h 时,总费用最少32012解 (1)设容器的容积为 V,由题意知 Vr2l r3,又 V,43803故 l r (r)V43r3r2803r2434320r2由于 l2r,因此 03,所以 c20.当 r30 时,r.20c2320c2令m,则 m0,320c2所以 y(rm)(r2rmm2)8c2r2当 0 时,令 y0,得 rm.92当 r(0,m)时,y0,所以 rm 是函数 y 的极小值点,也是最小值点当 m2,即 3 时,建造费用最小时 r.92320c2
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