2.3 数学归纳法数学归纳法(二二)一、基础过关1用数学归纳法证明等式 123(n3) (nN*)，验证 n1 时，左n3n42边应取的项是_2用数学归纳法证明“2nn21 对于 nn0的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取_3若 f(n)1 (nN*)，则 f(1)_.121312n14已知 f(n)1 (nN)，证明不等式 f(2n) 时，f(2k1)比 f(2k)多的项数是12131nn2_5已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snn2an (nN*)依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想 Sn的表达式为_二、能力提升6用数学归纳法证明“5n2n能被 3 整除”的第二步中，当 nk1 时，为了使用归纳假设，应将 5k12k1变形为_7k(k3，kN*)棱柱有 f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数 f(k1)f(k)_.8对于不等式n1 (nN*)，某学生的证明过程如下：当 n1 时，n2n11，不等式成立121假设 nk (nN*)时，不等式成立，即k1，则 nk1 时，k2k .假设 nk 时，不等式成立则当1221321n12121n2nk1 时，应推证的目标不等式是_10证明：62n11 能被 7 整除(nN*)11求证： (n2，nN*)1n11n213n5612已知数列an中，a1 ，其前 n 项和 Sn满足 anSn2(n2)，计算231SnS1，S2，S3，S4，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明三、探究与拓展13试比较 2n2 与 n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论答案答案11234253.11642k5Sn2nn165(5k2k)32k7k189. 1221321k21k121k22121k310证明 (1)当 n1 时，62117 能被 7 整除(2)假设当 nk(kN*)时，62k11 能被 7 整除那么当 nk1 时，62(k1)1162k12136(62k11)35.62k11 能被 7 整除，35 也能被 7 整除，当 nk1 时，62(k1)11 能被 7 整除由(1)，(2)知命题成立11证明 (1)当 n2 时，左边 ，1314151656不等式成立(2)假设当 nk(k2，kN*)时命题成立，即 .1k11k213k56则当 nk1 时，(1k111k1213k13k113k213k11k11k213k13k1) () (3) ，13k213k31k15613k113k213k31k15613k31k156所以当 nk1 时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切 n2，nN*均成立12解 当 n2 时，anSnSn1Sn2.1SnSn(n2)1Sn12则有：S1a1 ，23S2 ，1S1234S3 ，1S2245S4 ，1S3256由此猜想：Sn(nN*)n1n2用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，S1 a1，猜想成立23(2)假设 nk(kN*)猜想成立，即 Sk成立，k1k2那么 nk1 时，Sk11Sk21k1k22.k2k3k11k12即 nk1 时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数 n，猜想结论均成立13证明 当 n1 时，2124n21，当 n2 时，2226n24，当 n3 时，23210n29，由 n4 时，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(nN*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，左边2124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立当 n2 时，左边2226，右边224，所以左边右边；当 n3 时，左边23210，右边329，所以左边右边(2)假设 nk(k3 且 kN*)时，不等式成立，即 2k2k2.那么当 nk1 时，2k1222k22(2k2)22k22.又因为 2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即 2k22(k1)2，故 2k12(k1)2成立根据(1)和(2)，原不等式对于任何 nN*都成立