2.3.2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质一、基础过关1 双曲线 2x2y28 的实轴长是_2 双曲线 3x2y23 的渐近线方程是_3 双曲线1 的焦点到渐近线的距离为_x24y2124 双曲线 mx2y21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m_.5 双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别是 F1、F2，过 F1作倾斜角为 30的直x2a2y2b2线，交双曲线右支于 M 点，若 MF2垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为_6 已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆 C：x2y26x50 相切，且x2a2y2b2双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为_7 已知双曲线 C：1 的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数 m 的取值范围x24y2m是 _二、能力提升8 已知圆 C 过双曲线1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心x29y216到双曲线中心的距离是_9.如图所示，ABCDEF 为正六边形，则以 F、C 为焦点，且经过 A、E、D、B 四点的双曲线的离心率为_10根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与双曲线1 有共同的渐近线，且过点(3,2)；x29y2163(2)与双曲线1 有公共焦点，且过点(3，2)x216y24211已知双曲线的一条渐近线为 xy0，且与椭圆 x24y264 有相同的焦距，求双曲3线的标准方程12求证：双曲线1 (a0，b0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值x2a2y2b2三、探究与拓展13已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)、F2(c,0)若双曲线上x2a2y2b2存在点 P，使 ，求该双曲线的离心率的取值范围sinPF1F2sinPF2F1ac答案答案1 4 2yx 32 4 5 6133143x25y247(4，) 8 91163310解 (1)设所求双曲线方程为 (0)，x29y216将点(3,2)代入得 ，314所以双曲线方程为 ，x29y21614即1.4x29y24(2)设双曲线方程为1 (a0，b0)由题意易求 c2.x2a2y2b25又双曲线过点(3，2)，21.3 22a24b2又a2b2(2)2，a212，b28.5故所求双曲线的方程为1.x212y2811解 椭圆方程为1，可知椭圆的焦距为 8.x264y2163当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为1 (a0，b0)，x2a2y2b2Error!Error! 解得Error!Error!双曲线的标准方程为1.x236y212当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为1 (a0，b0)，Error!Error! 解得Error!Error!y2a2x2b2双曲线的标准方程为1.y212x236由可知，双曲线的标准方程为1 或1.x236y212y212x23612证明 设 P(x0，y0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为 bxay0 和bxay0，可得 P 到 bxay0 的距离 d1，|bx0ay0|a2b2P 到 bxay0 的距离d2.|bx0ay0|a2b2d1d2|bx0ay0|a2b2|bx0ay0|a2b2.|b2x2 0a2y2 0|a2b2又 P 在双曲线上，1，x2 0a2y2 0b2即 b2x a2y a2b2，d1d2.2 02 0a2b2a2b2故 P 到两条渐近线的距离之积为定值13解 如图，设 PF1m，PF2n，由题意及正弦定理得 ，nmacn m.又 mn2a，acm m2a，ac即m2a，m.(1ac)2acca又 mca，ca，2acca即 c22aca21，1e1.2