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3.2.3 空间的角的计算空间的角的计算一、基础过关1 若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150,则直线 l 与平面 所成的角等于_2 若两个平面 , 的法向量分别是 n(1,0,1),(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_3 已知 A,P,平面 的一个法向量 n,则直PA(32,12, 2)(0,12, 2)线 PA 与平面 所成的角为_4 在正三棱柱 ABCA1B1C1中,若 ABBB1,则 AB1与 C1B 所成角的大小为2_5 如图,在正四面体 ABCD 中,点 E 为 BC 中点,点 F 为 AD 中点,则异面直线 AE 与CF 所成角的余弦值为_6 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N,P 分别是棱 CC1,BC,A1B1上的点,若B1MN90,则PMN 的大小是_二、能力提升7 二面角的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB.已知 AB4,AC6,BD8,CD2,则该二面角的大小为17_8 设 ABCD、ABEF 都是边长为 1 的正方形,FA平面 ABCD,则异面直线 AC 与 BF 所成的角为_9 正方体 ABCDA1B1C1D1中,E、F 分别是 A1D1、A1C1的中点求异面直线 AE 与 CF所成角的余弦值10如图,已知点 P 在正方体 ABCDABCD的对角线 BD上,PDA60.(1)求 DP 与 CC所成角的大小;(2)求 DP 与平面 AADD 所成角的大小11如图,四棱锥 FABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC2,BD.CF 与平面2ABCD 垂直,CF2.求二面角 BAFD 的大小三、探究与拓展12如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,EFAB,EFFB,AB2EF,BFC90,BFFC,H 为 BC 的中点(1)求证:FH平面 EDB;(2)求证:AC平面 EDB;(3)求二面角 BDEC 的大小答案答案160 260 360 490 5 690 760 860 239解 不妨设正方体棱长为 2,分别取 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2),由(1,0,2),(1,1,2),AECF得|,|.AE5CF61043.AECF又|cos, AECFAECFAECFcos, ,30AECFcos, ,异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为.AECF3010301010解 (1)如图,以 D 为原点,DA 为单位长建立空间直角坐标系 Dxyz.则(1,0,0),(0,0,1)DACC连结 BD,BD.在平面 BBDD 中,延长 DP 交 BD于 H.设(m,m,1) (m0),DH由已知,60,DHDA由|cos, ,DADHDADHDHDA可得 2m.2m21解得 m,所以.22DH(22,22,1)因为 cos,DHCC,22 022 01 11 222所以,45,即 DP 与 CC所成的角为 45.DHCC(2)平面 AADD 的一个法向量是(0,1,0)DC因为 cos,DHDC ,22 022 11 01 212所以,60.DHDC可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30.11解 过点 A 作 AE平面 ABCD.以 A 为坐标原点,、 、方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标BDACAE系(如图)于是 B,D,(22,1,0)(22,1,0)F(0,2,2)设平面 ABF 的法向量 n1(x,y,z),则由Error!Error!得Error!Error!令 z1,得Error!Error!所以 n1(,1,1)2同理,可求得平面 ADF 的法向量 n2(,1,1)由 n1n20 知,2平面 ABF 与平面 ADF 垂直,所以二面角 BAFD 的大小等于 .212(1)证明 四边形 ABCD 为正方形,ABBC.又 EFAB,EFBC.又 EFFB,EF平面 BFC.EFFH,ABFH.又 BFFC,H 为 BC 的中点,FHBC.FH平面 ABC.以 H 为坐标原点,为 x 轴正方向,为 z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐HBHF标系设 BH1,则 A(1,2,0),B(1,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)设 AC 与 BD 的交点为 G,连结 GE,GH,则 G(0,1,0),(0,0,1)又(0,0,1),GEHF.HFGE又 GE平面 EDB,HF平面 EDB,FH平面 EBD.(2)证明 (2,2,0),(0,0,1),0,ACGEACGEACGE.又 ACBD,EGBDG,AC平面 EDB.(3)解 (1,1,1),(2,2,0)设平面 BDE 的法向量为 n1(1,y1,z1),BEBD则n11y1z10,n122y10,BEBDy11,z10,即 n1(1,1,0)(0,2,0),(1,1,1)CDCE设平面 CDE 的法向量为 n2(1,y2,z2),则 n20,y20,n20,CDCE1y2z20,z21,故 n2(1,0,1)cosn1,n2 ,n1n2|n1|n2|12 212n1,n260,即二面角 BDEC 的大小为 60.
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