幂函数中的三类讨论题幂函数中的三类讨论题在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，下面我们将一起来学习幂函数中的 三类讨论题类型一：求参数的取值范围例1 已知函数223( )mmf xx（mZ）为偶函数，且 f（3）f（5） ，求 m 的值，并确定 f（x）的解析式分析：函数223( )mmf xx（mZ）为偶函数，已限定了223mm必为偶数，又 mZ，f（3）f（5） ，只要根据条件分类讨论便可求得 m 的值，从而确定 f（x）的解析 式解：f（x）是偶函数，223mm应为偶数又f（3）f（5） ，即22232335mmmm，整理，得223315mm2230mm，解得312m 又mZ，m=0 或 1当 m=0 时，2233mm为奇数（舍去） ；当 m=1 时，2232mm为偶数故 m 的值为，2( )f xx类型二：求解存在性问题例 2 已知函数2( )f xx，设函数( ) ( )(21) ( ) 1g xqf f xqf x ，问是否存在实数 q（q0） ，使得g（x）在区间（，4上是减函数，且在区间（4，0）上是 增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断， 但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间解：2( )f xx，则42( )(21)1g xqxqx 假设存在实数 q（q0） ，使得 g（x）满足题设条件，设任意12xx，且12xx，则4242 121122()()(21)(21)g xg xqxqxqxqx 22 122112()() ()(21)xxxxq xxq若12xx，（，易知122100xxxx，要使( )g x在（，4上是减函数，则应有22 12()(21)0q xxq恒成立1244xx ，22 1232xx而0q ，22 12()32q xxq从而要使22 12()21q xxq恒成立，则有2132qq ，即1 30q若12xx，（4，0） ，易知1221()()0xxxx，要使 f（x）在（4，0）上是增函数，则应有22 12()(21)0q xxq恒成立124040xx ，22 1232xx，而0q ，22 12()32q xxq要使22 12()21q xxq恒成立，则必有2132qq ，即1 30q综上可知，存在实数1 30q ，使得( )g x在（，4上是减函数，且在（4，0）上是增函数 类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况.w.w.例 3 讨论函数2221()kkykk x在0x 时，随着 x 的增大其函数值的变化情况分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论解：（）当20kk，即0k 或1k 时，0y 为常函数；（）当2210kk ，即12k 或12k 时，此时函数为常函数；（）当220210kkkk ，即012k 时，函数为减函数，函数值随 x 的增大而减小；（）当220210kkkk ，即1k 或12k 时，函数为增函数，函数值随 x 的增大而增大；（）当220210kkkk ，即120k时，函数为增函数，函数值随 x 的增大而增大；（）当220210kkkk ，即112k 时，函数为减函数，函数值随 x 的增大而减小