1竞赛辅导竞赛辅导数列数列(等差数列与等比数列等差数列与等比数列)数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。 所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列an的第 n 项 an与项数(下标)n 之间的函数关系可以用一个公式 an=f(n)来表示，这 个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的 有限子集1，2，n)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列 函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的 定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。 一、 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常 用字母 d 表示。 等差数列an的通项公式为：) 1 () 1(1dnaan前 n 项和公式为：)2(2) 1( 2)(11dnnnaaanSn n从(1)式可以看出，是的一次数函()或常数函数()，(nan0d0d )排在一条直线上，由(2)式知，是的二次函数()或一次函nan,nSn0d数()，且常数项为 0。在等差数列 中，等差中项： 0, 01adna且任意两项的关系为：22 1 nn naaanmaa ,dmnaamn)( 它可以看作等差数列广义的通项公式。 2从等差数列的定义、通项公式，前项和公式还可推出：nnkaaaaaaaakknnn3 , 2 , 1,123121若qpnmaaaaqpnmNqpnm:,*则有且等等或等差数列,1) 12(,) 12()1(232121 knnkkkkkknnnm SSSSSSSanSanS 二、 等比数列 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比 通常用字母表示。等比数列an的通项公式是： q1 1n nqaa前项和公式是：n1,1qnanS1,11)1 (111qqqaa qqann在等比数列中，等比中项： 21nnnaaa且任意两项的关系为nmaa ,mn mnqaa如果等比数列的公比满足 01，这个数列就叫做无穷递缩等qq比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：qaS11从等比数列的定义、通项公式、前项和公式可以推出： n312 11212 12321*123121)(,)(:,:, 3 , 2 , 1, n nnn nnnnnmqpknknnnaaaaaaaaaaNqpnmnkaaaaaaaa则有记则有若另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等 差数列；反之，以任一个正数 C 为底，用一个等差数列的各项做指数构 造幂，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等naCnaC 比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性 质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是 极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)， “错位相减”(等比数列)。 数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的 前 n 项和。 三、 范例 例 1 设 ap，aq，am，an是等比数列an中的第 p、q、m、n 项，若 p+q=m+n，求证： nmqpaaaa证明：设等比数列的首项为，公比为 q，则na1anmqpnm nmqp qpn nm mq qp paaaaqaaaqaaaqaaqaaqaaqaa:,:22 122 11 11 11 11 1故所以说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常 会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积 等于首末两项的乘积，即：a1+kan-k=a1an4对于等差数列，同样有：在等差数列 中，距离两端等这的na两项之和等于首末两项之和。 即：a1+k+an-k=a1+an例 2在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则 2a9-a10= naA.20 B.22 C.24 D28 解：由 a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得5a8=120，a8=24而 2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选 C 例 3已知等差数列an满足 a1+a2+a3+a101=0，则有( ) A.a1+a1010 B. a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51 2000 年北京春季高考理工类第(13)题 解：显然，a1+a2+a3+a101CaaaaaaaaaaS选从而故, 0, 00101)(21101199310021011101101例 4设 Sn为等差数列的前项之各， nanS9=18，Sn=336，则为( ) )9(304nannA.16 B.21 C.9 D8 5BnnnaanSaaaaaaSnnnn选故而所以故由于解,2133616322)(2,323022,189:1145559例 5设等差数列满足，且0，为其前项之和，na13853aa 1anSn则中最大的是( )。 (1995 年全国高中联赛第 1 题) )(*NnSn(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21020,20:, 0)240(39) 1(392) 1()12(5)7(353:11 1111138nnnannananaadnaadadaaa时当则令故解 所以:S19=S20最大，选(C) 注：也可用二次函数求最值 例 6设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项 的和为 972，则这样的数列共有( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 1997 年全国高中数学联赛第 3 题 解：设等差数列首项为，公差为，则依题意有：ad(*)972) 1(2972) 1(22ndnadnnna因为是不小于 3 的自然数，97 为素数，故数的值必为nn62972的约数(因数)，它只能是 97，297，972，2972四者之一。 若，则由(*)式知 2972故只可能有0d1d) 1() 1(nndnn =97，(*)式化为：，这时(*)有两组解：n9748da或 97097adn1297adn若，则(*)式化为：，这时(*)也有两组解。0d297na或 97097adn1297adn故符今题设条件的等差数列共 4 个，分别为：49，50，51，145，(共 97 项)1，3，5，193，(共 97 项)97，97，97，97，(共 97 项)1，1，1，1(共 972=9409 项)故选(C) 例 7将正奇数集合1，3，5，由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数 进行分组：1， 3，5，7， 9，11，13，15，17，(第一组) (第二组) (第三组) 则 1991 位于第 组中。 1991 年全国高中数学联赛第 3 题 7解：依题意，前 n 组中共有奇数 1+3+5+(2n-1)=n2个 而 1991=2996-1，它是第 996 个正奇数。 因为:312=9619961024=322所以:1991 应在第 31+1=32 组中。故填 32例 8一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则 该数为 。 1989 年全国高中联赛试题第 4 题 解：设该数为 x，则其整数部分为x，小数部分为 x-x，由已知得： x(x-x=x2其中x0，0x-x1，解得： 251251, 1, 12150215,251xxxxxxxxx故应填例 9等比数列的首项，公比，用 n表示它的前 na15361a21q项之积，则 n(nN*)最大的是( ) n(A)9 (B)11 (C)12 (D)13 1996 年全国高中数学联赛试题 解：等比数列的通项公式为 na8前 n 项和191)21(153623)21(1536nn na0)21(23:)21(23)21(1536559911 112)1( 92)1(因为nn nnnn n n最大故1212397811713 13942126610812 124536819 9 ,2322323223,239223选(C)例 10设，且两数列和均为等差数列，yx yaaax,32143, 21,bybbxb则 1988 年全国高中联赛试题 1234 aabb解：依题意，有 所以:)(412aaxy38)(31:)(3)(411234232312aabbxybbbbxyxyaa所以又例 11设是实数，成等比数列，且成等差数列，zyx,zyx5 ,4 ,3zyx1,1,1则的值是 1992 年全国高中数学联赛试题xz zx解：因为成等比数列，所以有zyx5 ,4 ,39:,1,1,1) 1 (1516:)4(5322所以有成等差数列又即zyxxzyyzx)2(2,:,11zxxzyyz xzzxyz zx即xzzxzxzxxzzyxxzzxzx34)(15)2(15640, 0, 015)(416:) 1 ()2(2222222得代入将1534xz zx例 12已知集合 M=及 N=并且 M=N，那么)lg(,xyxyxyx, 0( )的值等于)1()1()1()1(20012001 33 22 yxyxyxyx解：由 M=N 知 M 中应有一元素为 0，任由 lg()有意义知，xy0xy从而，且，故只有 lg()=0， xy=1，M=x,1,0；0x0yxy若 y=1，则 x=1，M=N=0，1，1与集合中元素互异性相连，故 y1，从而x=1，x=1；由 x=1, y=1(含)，由 x=-1 y=- 1，M=N=0,1,-1 10此时, 21, 21, 21, 2122 1212 22 kk kk yxyxyxyx从而 2)1()1()1(20012001 22yxyxyx注：数列 x，x2，x3，x2001；以及200121,1,1 yyy20012001 33 221,1,1,1 yxyxyxyx在 x=y=-1 的条件下都是周期为 2 的循环数列，S2n-1=- 2，S2n=0，故 2001 并不可怕。 例 13已知数列满足 3an+1+an=4(n1)且 a1=9，其前 n 项之和为naSn，则满足不等式Sn-n-6