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第八章假设检验,8.1 假设检验的基本思想8.2 正态总体未知参数的 假设检验8.3 单侧假设检验,上一章介绍了对总体中未知参数的估计方法。 本章将讨论统计推断的另一个重要方面统计假设检验。出于某种需要,对未知的或不完全明确的总体给出某些假设,用以说明总体可能具备的某种性质,这种假设称为统计假设。如正态分布的假设,总体均值的假设等。这个假设是否成立,还需要考察,这一过程称为假设检验,并最终作出判断,是接受假设还是拒绝假设。 本章主要介绍假设检验的基本思想和常用的检验方法,重点解决正态总体参数的假设检验 。,1假设检验的基本思想,一、 假设检验问题的提出,二、假设检验的基本思想,三、假设检验中两类错误,统计推断的另一个重要问题是假设检验问题。在总体的分布函数未知或只知其形式,但不知其参数的情况下,为了推断总体的某些性质,提出某些关于总体的假设。例如,提出总体服从泊松分布的假设,又如,对于正态总体提出数学期望 0的假设等。,这里,先结合例子来说明假设检验的基本思想和做法。,假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断:是接受,还是拒绝。,例1 已知某炼铁厂的铁水含碳量X在某种工艺条件下服从正态分布N(4.55,0.1082)。现改变了工艺条件,测了五炉铁水,其含碳量分别为: 4.28,4.40,4.42,4.35,4.37 根据以往的经验,总体的方差2= 0.1082一般不会改变。试问工艺条件改变后,铁水含碳量的均值有无改变?,显然,这里需要解决的问题是,如何根据样本判断现在冶炼的铁水的含碳量是服从4.55的正态分布呢?还是与过去一样仍然服从 =4.55的正态分布呢?若是前者,可以认为新工艺对铁水的含碳量有显著的影响;若是后者,则认为新工艺对铁水的含碳量没有显著影响。通常,选择其中之一作为假设后,再利用样本检验假设的真伪。,例2 某自动车床生产了一批铁钉,现从该批铁钉中随机抽取了11根,测得长度(单位:mm)数据为: 10.41,10.32,10.62,40.18,10.77,10.64, 10.82, 10.49,10.38,10.59,10.54。试问铁钉的长度X是否服从正态分布?,而在本例中,我们关心的问题是总体X是否服从正态分布。 如同例1那样,选择“是”或“否”作为假设,然后利用样本对假设的真伪作出判断。,以上两例都是实际问题中常见的假设检验问题。 我们把问题中涉及到的假设称为原假设或称待检假设,一般用H0表示。而把与原假设对立的断言称为备择假设,记为H1。 如例1,若原假设为H0:= 0=4.55,则备择假设为H1:4.55。 若例2的原假设为H0:X服从正态分布,则备择假设为H1:X不服从正态分布。,当然,在两个假设中用哪一个作为原假设,哪一个作为备择假设,视具体问题的题设和要求而定。 在许多问题中,当总体分布的类型已知时,只对其中一个或几个未知参数作出假设,这类问题通常称之为参数假设检验,如例1。 而在有些问题中,当总体的分布完全不知或不确切知道,就需要对总体分布作出某种假设,这种问题称为分布假设检验,如例2。,接下来我们要做的事是:给出一个合理的法则,根据这一法则,利用巳知样本做出判断是接受假设H0 ,还是拒绝假设H0。,二、假设检验的基本思想,假设检验的一般提法是:在给定备择假设H1下,利用样本对原假设H0作出判断,若拒绝原假设H0,那就意味着接受备择假设H1,否则,就接受原假设H0。 换句话说,假设检验就是要在原假设H0和备择假设H1中作出拒绝哪一个和接受哪一个的判断。究竟如何作出判断呢?对一个统计假设进行检验的依据是所谓小概率原理,即,概率很小的事件在一次试验中是几乎不可能发生!,例如,在100件产品中,有一件次品,随机地从中取出一个产品是次品的事件就是小概率事件。 因为此事件发生的概率=0.01很小,因此,从中任意抽一件产品恰好是次品的事件可认为几乎不可能发生的,如果确实出现了次品,我们就有理由怀疑这“100件产品中只有一件次品”的真实性。 那么取值多少才算是小概率呢?这就要视实际问题的需要而定,一般取0.1,0.05,0.01等。,以例1为例:首先建立假设 :,H0:=0=4.55,H1:4.55。,其次,从总体中作一随机抽样得到一样本观察值(x1,x2,xn)。,注意到 是的无偏估计量。因此,若H0正确,则,与0的偏差一般不应太大,即,不应太大,若过分大,我们有理由怀疑H0的正确性而拒绝H0。由于,因此,考察,的大小等价于考察,的大小,哪么如何判断,是否偏大呢?,具体设想是,对给定的小正数,由于事件,是概率为的小概率事件,即,因此,当用样本值代入统计量,具体计算得到其观察值,统计量 称为检验统计量。,当检验统计量取某个区域C中的值时,就拒绝H0,则称C为H0的拒绝域,拒绝域的边界点称为临界值。如例1中拒绝域为 ,临界值为 和,若,即说明在一次抽样中,小概率事件居然发生了。,因此依据小概率原理,有理由拒绝H0,接受H1;,,则没有理由拒绝H0,只能接受H0。,若,将上述检验思想归纳起来,可得参数的假设检验的一般步骤:,(1)根据所讨论的实际问题建立原假设H0及备择假设H1;,(2)选择合适的检验统计量Z,并明确其分布;,(3)对预先给定的小概率0,由P|Z|z/2= 确定临界值z/2 ;,(4)由样本值具体计算统计量Z的观察值z,并作出判断,若|z|z/2 ,则拒绝H0,接受H1;若|z| z/2 ,则接受H0。,现在,我们来解决例1提出的问题:,(1)假设H0:= 0=4.55,H1:4.55;,(2)选择检验用统计量,(3)对于给定小正数,如=0.05,查标准正态分表得到临界值z/2 =z0.025 =1.96;,因为| z|=3.91.96,所以拒绝H0,接受H1,即认为新工艺改变了铁水的平均含碳量。,(4)具体计算:这里n=5,,故Z的观察值,三、假设检验中两类错误,第类错误,当原假设H0为真时,却作出拒绝H0的判断,通常称之为弃真错误,由于样本的随机性,犯这类错误的可能性是不可避免的。若将犯这一类错误的概率记为 ,则有P拒绝H0|H0为真=。,第类错误,当原假设H0不成立时,却作出接受H0的决定,这类错误称之为取伪错误,这类错误同样是不可避免的。若将犯这类错误的概率记为 ,则有P接受H0|H0为假= 。,自然,我们希望一个假设检验所作的判断犯这两类错误的概率都很小。事实上,在样本容量n固定的情况下,这一点是办不到的。因为当减小时,就增大;反之,当减小时,就增大。,那么,如何处理这一问题呢? 事实上,在处理实际问题中,一般地,对原假设H0,我们都是经过充分考虑的情况下建立的,或者认为犯弃真错误会造成严重的后果。,例如,原假设是前人工作的结晶,具有稳定性,从经验看,没有条件发生变化,是不会轻易被否定的,如果因犯第类错误而被否定,往往会造成很大的损失。 因此,在H0与H1之间,我们主观上往往倾向于保护H0,即H0确实成立时,作出拒绝H0的概率应是一个很小的正数,也就是将犯弃真错误的概率限制在事先给定的范围内,这类假设检验通常称为显著性假设检验,小正数称为检验水平或称显著性水平。,8.2 正态总体下未知参数的假设检验,一、单个正态总体情形,1均值的检验,原假设H0: = 0,备择假设H1: 0。,(a)2已知,由上节的讨论可知,在H0成立的条件下,选用检验统计量,对给定的检验水平,查正态分布表得临界值z/2,再由样本值具体计算统计量Z的观察值z并与z/2比较 ,若|z|z/2 ,则拒绝H0,接受H1;若|z| z/2 ,则接受H0。这种检验法常称为Z检验法。,一、单个正态总体情形,例1 设某车床生产的钮扣的直径X服从正态分布,根据以往的经验,当车床工作正常时,生产的钮扣的平均直径0=26mm,方差2 =2.62。某天开机一段时间后,为检验车床工作是否正常,随机地从刚生产的钮扣中抽检了100粒,测得均值为26.56。假定方差没有什么变化。试分别在1=0.05,2=0.01下,检验该车床工作是否正常?,由1=0.05及2=0.01,查正态分布表,得临界值z1/2 = z0.025=1.96,z2/2 = z0.005=2.58。而,解:原假设H0: = 0,备择假设H1: 0。,因此,| z |=2.151.96,但| z |=2.152.58,故在检验水平1=0.05下,应当拒绝H0,接受H1,即认为该天车床工作不正常;而在检验水平2=0.01下,应当接受H0,即认为该天车床工作是正常的。,上例说明:1)对于同一个问题,同一个样本,由于检验水平不一样,可能得出完全相反的结论。因此,在实际应用中,如何合理地选择检验水平是非常重要的。,(b) 2未知,由于2未知,因此,不能用Z作为检验统计量,但注意到样本方差,是2的无偏估计量,因此,我们自然会想到用s2代替2,而在第六章的定理3也已经证明,在H0成立的条件下,统计量,于是,对给定的显著性水平0,查t分布表可得临界值t/2,使P|t| t/2=成立。再由样本值具体计算统计量T的观察值t,并与t/2比较,若| t |t/2,则拒绝H0,接受H1;若| t |t/2,则接受H0。这种检验法也称为t 检验法。,例2 某厂利用某种钢生产钢筋,根据长期资料的分析,知道这种钢筋强度X服从正态分布,今随机抽取六根钢筋进行强度试验,测得强度X(单位:kg/mm2)为 48.5,49.0,53.5,56.0,52.5,49.5。试问:能否据此认为这种钢筋的平均强度为52.0 kg/mm2(=0.05)?,解 设XN(,2),,依题意建立假设H0: = 0,H1: 0。,这里2未知,故在H0成立的条件下应选取检验统计量,由已知 =0.05,查t分布表得临界值 t/2 =t0.025(61)=2.571。,又由样本值算得,因为,| t |0.412.571,故接受H0,即可以认为这种钢筋的平均强度为52.0 kg/mm2。,2方差的检验,设总体XN(,2),均未知,(X1,X2,Xn)来自总体X的样本,要求进行的检验(设显著性水平为0)为,原假设H0: = ,备择假设H1: 。,是 的无偏估计量,因此由第六章的定理3知当H0为真时,统计量,因此对给定检验水平 0,由2分布表求得临界值 (n1)及 (n1)使,再由样本值(x1, x2, , xn)具体计算统计量2的观察值,判断:,这种检验法称为2检验法。,例4 某种电子元件的寿命(单位:h) XN (,2),其中,2未知。现检测了16只电子元件,其寿命如下: 159,280,101,212,224,279,179,264, 222,362,168,250,149,260,485,170。试问元件寿命的方差2是否等于1002(=0.05)?,解 依题意,假设H0:2=1002,H1:21002,选取检验统计量,
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