第章 自动控制系统计算机辅助分析,自动控制系统的计算机辅助分析是以理论分析为依据，在已经建立的自动控制系统数学模型的基础上，通过编程实现对系统稳定性、动态和稳态性能进行分析的一门应用技术。MATLAB以其方便灵活的编程、丰富的工具箱、以及强大的计算和绘图功能成为目前世界上最为流行的自动控制系统辅助分析软件。,1自动控制系统的稳定性分析,MATLAB提供了求取特征方程根的函数roots( )，其调用格式为式中，P为特征多项式的系数向量，返回值V是特征根构成的列向量。,MATLAB还提供一个可以直接求取矩阵特征值的函数eig( )，其调用格式为,其中D为矩阵A的特征值向量。,调用该函数时，也可以给出两个返回值：其中V是由与特征值相对应的特征向量构成的变换矩阵。,【例2】某线性控制系统的状态方程为试求出系统特征多项式以及特征值，并且作线性变换 要求变换后系统矩阵 为对角阵。,(解题过程见教材第98页),1.2 控制系统的能控性和能观性分析,在“现代控制理论”课程中，我们已经知道：线性定常系统， 如果它的能控性矩阵为满秩，则该系统为状态完全能控，或称该系统是能控的；对于线性定常系统，如果它的能观性矩阵为满秩，则该系统为状态完全能观，或称该系统是能观的。,MATLAB中有用于计算能控性矩阵的函数ctrb( )， 其格式为： 计算能观性矩阵的函数obsv( )， MATLAB中还有计算矩阵秩的函数rank( )。这些函数可以帮助我们分析控制系统的能控性和能观性。,【例3】 分析下面的线性系统是否能控？是否能观测？,1.3 利用传递函数的极点判别系统稳定性,控制系统的传递函数（或脉冲传递函数）以有理真分式形式给出时，MATLAB提供的函数tf2zp( )和pzmap( )可以用来求取系统的极点和零点，进而实现对系统稳定性的判断。,【例4】 已知某控制系统如下图所示，试求出闭环系统的极点，并且判断闭环系统的稳定性。,解 输入命令,计算机显示,表示该系统的闭环传递函数为,再判断闭环极点，输入,计算机输出,显然，3个闭环极点全部位于左半复平面，因此，闭环系统稳定。,1.4 利用李亚普诺夫第二法判别系统稳定性,对于非线性系统，没有求Lyapunov函数的一般方法。MATLAB也没有这个功能。只能判断齐次线性定常系统的稳定性。,【例5】 齐次线性定常系统方程如下，试判断系统的稳定性。,解 编写MATLAB程序如下,计算机执行以后，输出,由于矩阵P的各阶主子式的行列式都为正，P为正定，因此本系统为大范围一致渐近稳定。,2 控制系统时域分析,2.1 时域分析的一般方法,对于稳定的控制系统来说，其时域特性可以由暂态响应和稳态响应的性能指标来表示。最为常见的是用控制系统单位阶跃响应的特征来定义系统的动态时域性能指标，主要有：上升时间、峰值时间、超调量和调节时间等。,需要指出：系统动态性能指标定义的前提是系统为稳定的。控制系统的稳态性能指标通常用系统的稳态误差来表示。,2.2 常用时域分析函数,在MATLAB中，常用的时域分析函数主要有以下几种： step( )绘制连续系统的单位阶跃响应曲线； dstep( )绘制离散系统的单位阶跃响应曲线； impulse( )绘制连续系统的单位尖脉冲响应曲线； dimpulse( )绘制系统的单位尖脉冲响应曲线； lsim( )绘制连续系统的任意输入响应曲线； dlsim( )绘制离散系统的任意输入响应曲线,【例6】 已知控制系统闭环传递函数如下，试用MATLAB绘制其单位阶跃响应曲线。,解 输入命令,计算机就绘制出该系统的单位阶跃响应曲线如图所示,再输入命令：,计算机就绘制出该系统的单位脉冲响应曲线如下图所示,【例7】 已知二阶闭环控制系统如图所示，试在4个子图中绘出当无阻尼自然振荡频率 ，阻尼比 分别为 0.2、0.5、1.0和2.5等不同值时，系统的单位阶跃响应曲线。,2.3 时域分析应用实例,摆杆长度为L，质量为m的单级倒立摆(摆杆的质心在杆的中心处)，小车的质量为M。在水平方向施加控制力u，相对参考系产生位移为y。为了简化问题并且保其实质不变，忽略执行电机的惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力及风力。,摆杆质心坐标为,在y轴方向上应用牛顿第二定律得以下方程：,（1）,而,（2）,代入（1）式，化简为,在转动方向上，其转矩平衡方程为：,（3）,（4）,或,不失一般性，不妨选取倒立摆的参数如下,选取状态变量,判断开环系统的稳定性 ，输入命令,计算结果,可见，有一个特征值位于右半复平面，开环系统不稳定。,判断系统的能控性,计算机返回 r=4 , 系统能控，则可以通过状态反馈配置系统极点,例如，我们希望通过状态反馈，将系统极点配置为-5、-6、 。则使用命令place()可以求出状态反馈矩阵K。,输入命令,计算机返回,建立该状态反馈控制系统的仿真模型,输出曲线,3 控制系统频率域分析,稳定的线性定常系统，在正弦输入信号作用下，其输出的稳态分量是与输入同频率的正弦函数。进入稳态以后，输出正弦信号的振幅和输入正弦信号振幅之比称为幅频特性。而输出正弦信号的相位和输入正弦信号的相位之差 称为相频特性。,3.1 频域分析的一般方法,在频率分析法中，判别闭环系统稳定性的最基本定理是Nyquist判据：对于开环稳定的系统来说，开环传递函数的极点全部位于左半复平面以内，则闭环系统为稳定的充分必要条件为：开环频率特性的奈氏曲线不包围（-1，j0）点。在半对数坐标纸上，分别绘制对数幅频特性和相频特性，就称为伯德图。,在MATLAB中，为我们提供了nyquist( )、bode( )和margin( )等命令，使我们非常方便地使用频率特性来分析系统。,3.2 频域分析应用实例,在MATLAB编程语言中，绘制奈氏曲线的命令是nyquist( )，其基本格式为： nyquist(sys) 或 nyquist(sys,W) 或 nyquist(sys,WMIN, WMAX),类似地，绘制伯德图的命令是bode，其基本格式为： bode(sys) 或 bode(sys,W) 或 bode(sys,WMIN, WMAX),【例6-8】 已知单位负反馈线性定常系统的开环传递函数为试绘制其奈氏曲线，并且判断闭环系统是否稳定。,解 首先判断开环系统是否稳定。输入命令：,计算机返回 ：,可见，开环系统稳定。再输入命令：,计算机绘制出奈氏图 ：,由于奈氏曲线不包围（-1，j0）点，因此，闭环系统为稳定。,输入命令,计算机绘制出Bode图，并且计算出幅值裕度和相角裕度,显然，系统稳定,4 根轨迹分析方法,控制系统的根轨迹分析方法就是利用系统的某个参数（通常是开环增益）从0变化到无穷大时，闭环系统特征根所留下的轨迹（即根轨迹）来分析系统性能以及参数变化对系统性能的影响。,4.1 幅值条件和相角条件,幅值条件方程：,相角条件方程：,复平面上满足相角条件的所有s点的集合就是系统的根轨迹。当 被确定为某一数值时，根据幅值条件就可以确定闭环极点的位置。,4.2 绘制根轨迹的常用函数及其应用实例,在MATLAB编程语言中，有绘制根轨迹的命令rlocus， 其基本格式为 rlocus(sys) 和 rlocus(sys, T) 或者 rlocus(num, den, T) 和 rlocus(num, den, T) 执行该命令后，根轨迹图自动生成。如果给定参数T，则绘制当T从0变化到无穷大时的广义根轨迹。,【例6-12】已知系统开环传递函数如下，绘制系统根轨迹，并求出闭环系统临界稳定时的根轨迹增益值。,解 在MATLAB命令窗口键入命令,计算机绘制出系统根轨迹如图,再输入命令 在图形窗口出现十字光标。因为闭环系统为临界稳定，所以选择闭环极点在虚轴上，点击鼠标左键，就确定了闭环极点 。,同时，在Command窗口，计算机给出了相应的数值。,5* 基于计算机仿真的非线性定常控制系统 新型稳定性判据,5.1 问题的提出,对于一个控制系统来说，其最重要的属性就是稳定性，一个不稳定的系统是无法工作的。长期以来，对于非线性控制系统的稳定性分析，通常采用Lyapunov第二法。但是，对于有些非线性系统构造合适的广义能量函数非常困难。到目前为止，仍然没有一个构造Lyapunov函数的一般性的方法.,近数十年来，计算机技术取得了突飞猛进的发展。而高配置的个人计算机以及像MATLAB这样优秀的计算与仿真软件越来越普及，使用计算机仿真来分析非线性控制系统的稳定性成为可能的解决方法之一。可见，计算机不仅在技术层面，而且在理论层面，都深刻地影响着控制理论与控制工程学科的发展。,本书作者提出了一种新型的基于计算机仿真的非线性定常控制系统稳定性分析方法。,5.2 新型稳定性判据,首先，作为一个例子，我们考察以下非线性方程,选取正定的Lyapunov函数如下,则其一阶导数为负定,并且当 时， ，根据Lyapunov稳定性理论，该系统状态空间原点为大范围一致渐近稳定的平衡状态。,随时间变化曲线,随时间变化曲线,从以上观察得到启示：是否可以根据各状态分量的平方和函数 是否收敛到零来判别非线性系统的稳定性，而不必构造出Lyapunov函数？,对于同一个非线性定常系统，如果选择各状态分量的平方和函数,非线性定常控制系统在平衡点的某个邻域内有以下4种运动形态：（1）渐近稳定；（2）发散；（3）以极限环形式作自持振荡运动；（4）在非平衡点的某些状态上驻留。,定理（Xiaojiang Zhangs Criterion for Stability）,对于非线性定常系统 （其中 为状态向量）,设：1） 该系统的平衡点为状态空间原点（如果平衡点不在原点，则通过变量代换坐标平移可以将平衡点平移至状态空间原点而不影响系统稳定性）；,2）当 （其中 为状态空间原点的半径为 的邻域）， 时， 为有界。,则该系统为局部一致渐近稳定的充分必要条件是：通过仿真或数值计算，在充分长时间之后，各状态分量的平方和函数趋向于零,即：如果 ，则系统一致渐近稳定；如果 不趋向零，则系统不是一致渐近稳定；如果 在有界的范围内波动，则该非线性系统为自持震荡。,需要指出：以上定理不适用于时变系统。因为时变系统的参数随时间变化而发生改变，有可能导致系统经过一段稳定状态或者驻留状态后又变成为发散。,说明1：在Lyapunov第二法中，条件“ V 为正定且 为负定”可以确保得出结论：“当 时，则系统大范围渐近稳定”。然而，本节提出的定理却不能得出大范围稳定性的这一结论。,说明2：采用传统的Lyapunov稳定性理论来判断系统稳定性时，其可信度取决于系统数学模型与真实系统的接近程度。而本节提出的基于计算机仿真的稳定性判据，其可信度取决于所建立的系统仿真模型与真实系统的接近程度。在MATLAB/Simulink环境下，系统仿真模型就是依据系统数学模型建立的。如果恰当地选择算法和步长，则两者并无显著差别。因此，两种判据的可信度是相当的。,说明3：传统的Lyapunov稳定性理论的实质是：对于某个控制系统，不去求它的解析解（对于许多非线性系统来说，无法得出解析解），转而去确定广义能量函数及其一阶导数的正定性。 而Xiaojiang Zhangs稳定性判据的实质是：使用数字计算机解出控制系统的数值解，通过判断状态变量平方和函数是否收敛，就可以判断系统的稳定性。是一种基于数值解的稳定性判据。,