七年级衔接课程班,主讲：李老师2012年8月,课程计划： 课时：20课时 课程内容：第一章 有理数第二章 整式的加减第三章 一元一次方程第四章 图形的初步认识,第一部分 有理数,11 正数和负数 12 有理数的加减法 13 有理数的乘除法 14 有理数的乘方,小学阶段学习了那些“数”？整数和分数（包括小数）,如何表示以下相反意义的量：在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）： 例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。 例2：温度是零上10和零下5。 例3：收入500元和支出237元。 例4：水位升高1.2米和下降0.7米。 例5：买进100辆自行车和买出20辆自行车。,负数,为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了5，2，237，0.7等数。像这样的一些新数，叫做负数。 过去学过的那些数（零除外），如10，3，500，1.2等，叫做正数.正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”），如5可以写成+5。 注意：零既不是正数，也不是负数。,随堂练习： 正常水位为0m，水位高于正常水位0.2m 记作 ，低于正常水位0.3m记作 。 乒乓球比标准重量重0.039g记作 ，比标准重量轻0.019g记作 ，标准重量记作 。 2一个物体沿东西两个相反的方向运动时可以用正负数表示它们的运动，如果向东运动4m记作4m，向西运动8m记作 ；如果7m表示物体向西运动7m，那么6m表明物体怎样运动？,有理数,数的扩充： 数1，2，3，4，叫做正整数； 1，2，3，4，叫做负整数； 正整数、负整数和零统称为整数； 数1/2，2/7，3/8，5.6，叫做正分数； 1/2 ， 2/7 ，3.5，叫做负分数； 正分数和负分数统称为分数； 整数和分数统称为有理数。,有理数的分类,数轴,数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 （三要素）,判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？,相反数,只有符号不同的两个数互为相反数。,代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。 几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。0的相反数是0。 说明：“互为相反数”的含义是相反数，是成对出现的，因而不能说“6是相反数”。“0的相反数是0”是相反数定义的一部分。这是因为0既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是0，这是相反数等于它本身的唯一的数。,判断下列说法是否正确： 5是5的相反数； ( ) 5是5的相反数； ( ) 5与5互为相反数； ( ) 5是相反数； ( ) 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 ( ),绝对值,我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记作|a|。,1. 一个正数的绝对值是它本身； 0的绝对值是0； 一个负数的绝对值是它的相反数。 即：若a0，则|a|=a； 若a0，则|a|= a；若a=0，则|a|=0； 由绝对值的定义可知：不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|0。,有理数的大小比较,数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总是比左边的数大。 正数大于零，负数小于零，正数大于负数。,绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。,注意：绝对值比较法只适用与两个负数的大小比较。,有理数大小比较的一般法则： (1)负数小于0，0小于正数，负数小于正数； (2) 两个正数，应用已有的方法比较； (3) 两个负数，绝对值大的反而小.,有理数的加法,有理数的加法法则： 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3. 互为相反数的两个数相加得0； 4. 一个数同0相加，仍得这个数.注意： 一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同。,有理数减法法则,减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a b = a + (b ).,有理数加法的运算律,加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加。注意：交换或结合时要带着符号一起进行,a+b=b+a,a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c),例题1：(+2)+(11)； (+20)+(+12)； (3.4)+4.3 解：解原式=(112)=9； 解原式=+(20+12)=+32=32； 解原式= +(4.33.4)=0.9,例题2： (1)(32)(+5)； (2)7.3(6.8)； (3)(2)(25)； (4)1221 . 解：减号变加号 减号变加号(1)(32) (+5)=(32)+(5)=37。 (2)7.3(6.8)=7.3 + 6.8 =14.1。减数变相反数 减数变相反数 (注意：两处必须同时改变符号.)(3)(2)(25)=(2)+25=23。 (4)1221 = 12+(21)= 9。,计算中公式的巧运用,三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算。常见技巧有： (1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加； (2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和； (3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来； (4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。,有理数的乘法,乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a b = b a乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(ab)c=a(bc) 乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(bc)abac.根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.,例： 11111=_； 1(1)111=_； 1(1)(1)11=_； 1(1)(1)(1)1=_； 1(1)(1)(1)(1)=_。,一般地，有几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正. 几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.,有理数的除法,倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数. 注意：0不能作除数. 因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.,有理数的乘方,在小学我们已经学习过aa，记作a2，读作a的平方(或a的二次方)；aaa作a3，读作a的立方(或a的三次方)；那么，aaaa可以记作什么?读作什么?aaaaa呢? (n是正整数)呢?一般地，我们有：n个相同的因数a 相乘，即aaa a，记作an。 例如，22223；(2)(2)(2)(2)(2)4。这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方(involution)，乘方的结果叫做幂(power)。在an中，a叫作底数，n叫做指数，an 读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。例如，23中，底数是2，指数是3，23读作2的3次方，或2的3次幂。 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写。,例1：计算：(1) =(2)3 ； (2) =(2)4 ； (3) =(2)5,解：(1) 原式=(2)(2)(2)=8，(2) 原式= (2)(2)(2)(2)=16，(3) 原式= (2)(2)(2)(2)(2)=32。总结：根据有理数乘法运算法则，我们有： 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 你能把上述的结论用数学符号语言表示吗? 当a0时，an0(n是正整数)； 当a0时， ；当a=0时，an=0(n是正整数) (以上为有理数乘方运算的符号法则) a2n=(a)2n(n是正整数)；=(a)2n-1(n是正整数)； a2n0(a是有理数，n是正整数)。,科学记数法,科学记数法定义 :我们把大于10的数记成a10n的形式，其中a的整数数位只有一位的数，n是自然数，这种记数法叫做科学记数法。现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法。说它科学，因为它简单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用。一般地，把一个大于10的数记成a10n的形式，其中a 是整数数位只有一位的数（即1a10），n是正整数，这种记数法叫做科学记数法。,有理数的混合运算,有理数的运算律： 加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； 乘法交换律：ab=ba； 乘法结合律：(ab)c=a(bc)； 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac有理数混合运算的运算顺序规定如下： 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，按照从左至右的顺序进行； 如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。 注意： 加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。 可以应用运算律，适当改变运算顺序，使运算简便。,近似数和有效数字,精确度：在实际问题中，我们经常要用近似数.使用近似数就有一个近似程度的问题，也是就精确度的问题。 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 有效数字：这时，从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字,例1：下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位?各有哪几个有效数字? (1)132.4； (2)0.0572； (3)2.40万 解：(1)132.4精确到十分位(精确到0.1)，共有4个有效数字1、3、2、4； (2)0.0572精确到万分位(精确到0.0001)，共有3个有效数字5、7、2； (3)2.40万精确到百位，共有3个有效数字2、4、0。 注意：由于2.40万的单位是万，所以不能说它精确到百分位.。例2：用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数。 (1)0.34082(精确到千分位)； (2)64.8 (精确到个位)； (3)1.504 (精确到0.01)； (4)0.0692 (保留2个有效数字)； (5)30542 (保留3个有效数字)。 解：(1)0.34082 0.341。 (2)64.8 65。 (3)1.504 1.50。 (4)0.0692 0.069。 (5)30542 3.05104。,