苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义12.1 圆锥曲线圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在知识点一 椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考 1 如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点 F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案 椭圆思考 2 图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案 PF1PF2是常数(大于 F1F2)梳理 平面内到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点 F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义2知识点二 双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点 F1或 F2，拉开或闭拢拉链，拉链头 M 经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考 1 图中动点 M 的几何性质是什么？答案 |MF1MF2|为一个正常数思考 2 若 MF1MF2F1F2，则动点 M 的轨迹是什么？答案 以 F2为端点，向 F2右边延伸的射线梳理 平面内到两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点 F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距知识点三 抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考 如图，定点 C 和定直线 EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点 D 的轨迹则动点 D 的轨迹是什么？其满足什么条件？答案 抛物线，动点 D 到定点 C 和定直线 EF 距离相等，且 C 不在 EF 上梳理 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线1平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆()2平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线()3抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等()苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F1(3,0)，F2(3,0)的距离之和为 3m，问 m 取何值时 M 的轨迹是椭圆？解 MF1MF23m，M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F1F2时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆，3mF1F23(3)6，m2，当 m2 时，M 的轨迹是椭圆反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F1F2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F1F2.(3)在抛物线中，点 F 不在定直线上跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A，B 的距离之和 PAPB2a(a0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的_条件(2)动点 P 到两个定点 A(2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是_答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PAPB2a(a0，且为常数)，甲是乙的必要条件反之，若 PAPB2a(a0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆因为仅当 2aAB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2aAB 时，P 点轨迹是线段 AB；当2aAB 时，P 点无轨迹，甲不是乙的充分条件综上，甲是乙的必要不充分条件(2)由题意知 PAPBAB10，又 AB4，PAPB64.点 P 的轨迹是椭圆类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F1，F2均外切(圆 F1与圆 F2相离)，试问：动点 C 的轨迹是什么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R，圆 F1，F2的半径分别为 r1，r2，则 CF1Rr1，CF2Rr2.苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义4所以 CF1CF2r1r2.又 CF1CF2r1r2BC，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)(2)椭圆的焦点为 B，C，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF1MF22a(a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F1F2的大小，只有2aF1F2时，所求轨迹才是椭圆若得到 MF1MF22a(0F1F26，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆2若 F1，F2是两个定点且动点 P1满足 PF1PF21，又 F1F23，则动点 P 的轨迹是_答案 双曲线靠近点 F2的一支解析 因 PF1PF21F1F2)，则动点 M 的轨迹是椭圆若点 M 在椭圆上，则 MF1MF22a.2若|MF1MF2|2a(0F1F212，故中点的轨迹是椭圆106202106202中点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线故正确的是.8若动点 P 到定点 F(1,1)和到直线 l：3xy40 的距离相等，则动点 P 的轨迹是_答案 直线解析 设动点 P 的坐标为(x，y)，则.整理，得x12y12|3xy4|10x3y20，所以动点 P 的轨迹为直线9平面内有两个定点 F1，F2及动点 P，设命题甲：|PF1PF2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的_条件(“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的双曲线，则|PF1PF2|是非零常数，反之则不成立10已知点 A(1,0)，B(1,0)曲线 C 上任意一点 P 满足224(|)0.则曲PAPBPAPB线 C 的轨迹是_答案 椭圆解析 由224(|)0，PAPBPAPB苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义8得|4，且 4AB.PAPB故曲线 C 的轨迹是椭圆11已知动圆 M 过定点 A(3,0)，并且在定圆 B：(x3)2y264 的内部与其相内切，则动圆圆心 M 的轨迹为_答案 椭圆解析 设动圆 M 的半径为 r.因为动圆 M 与定圆 B 内切，所以 MB8r.又动圆 M 过定点A，MAr，所以 MAMB8AB6，故动圆圆心 M 的轨迹是椭圆二、解答题12点 M 到点 F(0，2)的距离比它到直线 l：y30 的距离小 1，试确定点 M 的轨迹解 由题意得点 M 与点 F 的距离等于它到直线 y20 的距离，且点 F 不在直线 l 上，所以点 M 的轨迹是抛物线13如图所示，已知点 P 为圆 R：(xc)2y24a2上一动点，Q(c,0)为定点(ca0，为常数)，O 为坐标原点，求线段 PQ 的垂直平分线与直线 RP 的交点 M 的轨迹解 由题意，得 MPMQ，RP2a.MRMQMRMPRP2a24BC.232323232323根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以 B，C 为两焦点，26 为实轴长的椭圆去掉点(13,0)，(13,0)