苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义13.1.2 共面向量定理共面向量定理学习目标 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件知识点一 共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量知识点二 共面向量定理如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得 pxayb，即向量 p 可以由两个不共线的向量 a，b 线性表示知识点三 空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x，y，z 使得xyOAOBz，且 x，y，z 满足 xyz1，则 A，B，C，D 四点共面OCOD1实数与向量之间可进行加法、减法运算()2空间中任意三个向量一定是共面向量()3若 P，M，A，B 共面，则xy.()MPMAMB类型一 向量共面的判定例 1 给出以下命题：用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；已知空间四边形 ABCD，则由四条线段 AB，BC，CD，DA 分别确定的四个向量之和为零向量；若存在有序实数组(x，y)使得xy，则 O，P，A，B 四点共面；OPOAOB若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；若 a，b，c 三向量两两共面，则 a，b，c 三向量共面其中正确命题的序号是_答案 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义2解析 错，空间中任意两个向量都是共面的；错，因为四条线段确定的向量没有强调方向；正确，因为，共面，OPOAOBO，P，A，B 四点共面；错，没有强调零向量；错，例如三棱柱的三条侧棱表示的向量反思与感悟 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内判定向量共面的主要依据是共面向量定理跟踪训练 1 下列说法正确的是_(填序号)以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；设平行六面体的三条棱是，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是ABAA1AD；ABAA1AD若 (P)成立，则 P 点一定是线段 AB 的中点；OP12APB在空间中，若向量与是共线向量，则 A，B，C，D 四点共面；ABCD若 a，b，c 三向量共面，则由 a，b 所在直线所确定的平面与由 b，c 所在直线确定的平面是同一个平面答案 类型二 向量共面的证明例 2 如图所示，若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，点 H 为 PC 上的点，且PHHC，点 G 在 AH 上，且m，若 G，B，P，D 四点共面，求 m 的值12AGAH考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用解 连结 BG.苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3因为，ABPBPAABDC所以，DCPBPA因为，PCPDDC所以.PCPDPBPAPAPBPD因为 ，所以，PHHC12PH13PC所以 ()PH13PAPBPD.13PA13PB13PD又因为，AHPHPA所以，AH43PA13PB13PD因为m，AGAH所以m，AGAH4m3PAm3PBm3PD因为，BGABAGPAPBAG所以.BG(14m3)PA(m31)PBm3PD又因为 G，B，P，D 四点共面，所以 10，m .4m334即 m 的值是 .34反思与感悟 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系跟踪训练 2 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1和 A1D1的中点证明：向量，是共面向量A1BB1CEF苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义4证明 EFEBBA1A1F12B1BA1B12A1D1 ()12B1BBCA1B.12B1CA1B又，不共线，B1CA1B由向量共面的充要条件知，是共面向量A1BB1CEF类型三 共面向量定理的应用例 3 如图，在底面为正三角形的斜棱柱 ABC-A1B1C1中，D 为 AC 的中点，求证：AB1平面 C1BD.证明 记a，b，c，则ac，ABACAA1AB1DBa b，ABAD12 bc，DC1DCCC112所以ac，又与不共线，DBDC1AB1DBDC1所以，共面AB1DBDC1又由于 AB1平面 C1BD，所以 AB1平面 C1BD.反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化要熟悉其证明过程和证明步骤跟踪训练 3 如图所示，已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1，设a，b，c，在面对ABACAA1苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义5角线 AC1上和棱 BC 上分别取点 M，N，使k，k(0k1)AMAC1BNBC求证：MN平面 ABB1A1.证明 kk()kbkc，AMAC1AA1AC又akak(ba)(1k)akb，ANABBNBC(1k)akbkbkcMNANAM(1k)akc.又 a 与 c 不共线与向量 a，c 是共面向量MN又 MN平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1.1给出下列几个命题：向量 a，b，c 共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若 ab，则存在唯一的实数 ，使 ab.其中真命题的个数为_答案 1解析 假命题三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题这是关于零向量的方向的规定；假命题当 b0 时，则有无数多个 使之成立2已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点 O，x，则 x 的值为OMOA13OB13OC_答案 13解析 由题意知，x 1，1313苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义6所以 x .133下列命题中，正确命题的个数为_若 ab，则 a 与 b 方向相同或相反；若，则 A，B，C，D 四点共线；ABCD若 a，b 不共线，则空间任一向量 pab(，R)答案 0解析 当 a，b 中有零向量时，不正确；时，A，B，C，D 四点共面不一定共线，ABCD故不正确；由 p，a，b 共面的充要条件知，当 p，a，b 共面时才满足pab(，R)，故不正确4已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若由向量确OP15OA23OBOC定的点 P 与 A，B，C 共面，那么 _.答案 215解析 P 与 A，B，C 共面，()()，即APABACAPOBOAOCOA(1)，OPOAOBOAOCOAOAOBOC11.因此 1，解得 .1523215共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量 a，b 总是共面向量，空间中三个向量 a，b，c 则不一定共面(2)空间中四点共面的条件空间点 P 位于平面 MAB 内，则存在有序实数对 x，y 使得xy，MPMAMB此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，实质就是平面 MAB 内平MAMB面向量的一组基底另外有xy，OPOMMAMB或xyz (xyz1)，OPOMOAOB均可作为证明四点共面的条件，但是更为常用苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义7一、填空题1设 a，b 是两个不共线的向量，R，若 ab0，则 _，_.答案 0 0解析 a，b 是两个不共线的向量，a0，b0，0.2下列结论中，正确的是_(填序号)若 a，b，c 共面，则存在实数 x，y，使 axbyc；若 a，b，c 不共面，则不存在实数 x，y，使 axbyc；若 a，b，c 共面，b，c 不共线，则存在实数 x，y，使 axbyc.答案 解析 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第个命题正确；但定理的应用又有一个前提：b，c 是不共线向量，否则即使三个向量 a，b，c 共面，也不一定具有线性关系，故不正确；正确3空间的任意三个向量 a，b,3a2b，它们一定是_答案 共面向量解析 如果 a，b 是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a2b 共面；若 a，b 共线，则 a，b,3a2b 共线，当然也共面4.如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 B1B 和 D1D 上，且BE BB1，DF DD1，若xyz，则 xyz_.1323EFABADAA1答案 13解析 ().EFAFAEADDFABBEAD23DD1AB13BB1ADAB13AA1x1，y1，z .xyz .13135i，j，k 是三个不共面的向量，i2j2k，2ij3k，i3j5k，且ABBCCD苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义8A，B，C，D 四点共面，则 的值为_答案 1解析 若 A，B，C，D 四点共面，则向量， ，共面，故存在不全为零的实数ABBCCDa，b，c，使得 abc0.ABBCCD即 a(i2j2k)b(2ij3k)c(i3j5k)0，(a2bc)i(2ab3c)j(2a3b5c)k0.i，j，k 不共面，Error!Error!6.如图，在空间四边形 OABC 中，a，b，c，点 M 在 OA 上，且OAOBOCOM2MA，N 为 BC 中点，则_.(用 a，b，c 表示)MN答案 a b c231212解析 () a(ba) ()MNMAABBN13OAOBOA12BC1312OCOB a(ba) (cb)1312 a b c.2312127平面 内有五点 A，B，C，D，E，其中无三点共线，O 为空间一点，满足xy，2xy，则 x3y_.OA12OBOCODOBOC13ODOE答案 76解析 由点 A，B，C，D 共面得 xy ，又由点 B，C，D，E 共面得 2xy ，联立方1223苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义9程组解得 x ，y ，所以 x3y .1613768已知 a(2,1,3)，b(3，4,2)，c(7，5)，若 a，b，c 共面，则实数 的值为_答案 12313解析 易得 ctab(2t3，t4，3t2)，所以Error!解得Error!故 的值为.123139已知 P，A，B，C 四点共面且对于空间任一点 O 都有2，