苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义12.4 抛物线抛物线2.4.1 抛物线的标准方程抛物线的标准方程学习目标 1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中 p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点 抛物线的标准方程思考 抛物线的标准方程有何特点？答案 (1)对称轴为坐标轴；(2)p 为大于 0 的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4)焦点、准线到原点的距离都等于 .p2梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0)现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(p2，0)xp2y22px(p0)(p2，0)xp2x22py(p0)(0，p2)yp2苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义2x22py(p0)(0，p2)yp21抛物线的方程都是 y 关于 x 的二次函数()2方程 x22py(p0)表示开口向上的抛物线()3抛物线的焦点到准线的距离为 p.()4抛物线的开口方向由一次项确定()类型一 由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程例 1 已知抛物线的方程 yax2(a0)，求它的焦点坐标和准线方程解 将抛物线方程化为标准方程 x2 y(a0)，1a则抛物线焦点在 y 轴上，(1)当 a0 时，p，12a焦点坐标 F，(0，14a)准线方程 y.14a(2)当 a0 时，p，12a焦点坐标 F，(0，14a)准线方程 y，14a综合(1)(2)知抛物线 yax2(a0)的焦点坐标是 F，准线方程是 y.(0，14a)14a反思与感悟 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程跟踪训练 1 (1)若抛物线 y22px 的焦点坐标为(1,0)，则 p_；准线方程为_苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3答案 2 x1解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以 1，p2，准线方程为 x 1.p2p2(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程y240x；4x2y；3y25x；6y211x0.解 焦点坐标为(10,0)，准线方程为 x10.由 4x2y 得 x2 y.142p ，p .1418焦点坐标为，准线方程为 y.(0，116)116由 3y25x，得 y2 x.2p ，p .535356焦点坐标为，准线方程为 x.(512，0)512由 6y211x0，得 y2x，116故焦点坐标为，准线方程为 x.(1124，0)1124类型二 求解抛物线的标准方程例 2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144 的左顶点；(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，AF5.解 (1)双曲线方程可化为1，x29y216左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为 y22px(p0)且3，p2p6，抛物线的方程为 y212x.(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得5AF.|mp2|又(3)22pm，p1 或 p9，故所求抛物线方程为 y22x 或 y218x.苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义4反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出 p，最后写出标准方程(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定 p 的值跟踪训练 2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M(3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程解 设抛物线方程为 y22px(p0)，则焦点 F，由题意，(p2，0)得Error!解得Error!或Error!故所求的抛物线方程为 y28x，m2.6抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.类型三 抛物线在实际生活中的应用例 3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5m 时，水面宽为 8m，一小船宽 4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，34小船开始不能通航？解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知，点 B(4，5)在抛物线上，故 p ，85得 x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA，则165A(2，yA)，由 22yA，得 yA .又知船面露出水面上的部分高为 m，所以1655434h|yA| 2(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2m 时，小船开始不能通航34反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义5跟踪训练 3 喷灌的喷头装在直立管柱 OA 的顶点 A 处，喷出水流的最高点 B 高 5m，且与OA 所在的直线相距 4m，水流落在以 O 为圆心，半径为 9m 的圆上，则管柱 OA 的长是多少？苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义6解 如图所示，以点 B 为坐标原点，过点 B 与地面平行的直线为 x 轴，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为 x22py(p0)，因为点 C(5，5)在抛物线上，所以 252p(5)，因此 2p5，所以抛物线的方程为x25y，点 A(4，y0)在抛物线上，所以 165y0，即 y0，所以 OA 的长为 51.8(m)165165所以管柱 OA 的长为 1.8m.1已知抛物线的准线方程为 x7，则抛物线的标准方程为_答案 y228x解析 可设抛物线方程为 y22px(p0)，由准线方程为 x7 知， 7，即 p14.故抛物p2线的标准方程为 y228x.2已知点(2,3)与抛物线 y22px(p0)的焦点的距离是 5，则 p 的值为_答案 4解析 焦点的坐标为，由两点间的距离公式得5p4.(p2，0)(2p2)2323若抛物线 y22px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p_.答案 2解析 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 1，p2.p24若抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线 x2y21 的一个焦点，则 p_.答案 22解析 抛物线 y22px(p0)的准线方程是 x ，p2因为抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线 x2y21 的一个焦点 F1(，0)，2所以 ，解得 p2.p222苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义75已知 M 为抛物线 y24x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点 N(2,3)，则 MNMF 的最小值为_答案 10解析 将 x2 代入抛物线方程，得 y2.232，点 N 在抛物线的外部2MNMFNF，而 F(1,0)，则 NF，2123210MNMF，当 N，M，F 三点共线时有最小值，最小值为.10101焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2mx(m0)，此时焦点为 F，(m4，0)准线方程为 x ；焦点在 y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 x2my(m0)，此时m4焦点为 F，准线方程为 y .(0，m4)m42设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫做抛物线的焦半径若 M(x0，y0)在抛物线 y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径 MFx0 .p2一、填空题1抛物线 y x2的准线方程是_14答案 y1解析 由 y x2，得 x24y，则抛物线的焦点在 y 轴正半轴上，且 2p4，即 p2，因此14准线方程为 yp21.2以坐标原点为顶点，(1,0)为焦点的抛物线的方程为_答案 y24x苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义8解析 由题意可设抛物线的方程为 y22px(p0)，则有 1，得 p2，p2所以抛物线的方程为 y24x.3经过点 P(4，2)的抛物线的标准方程为_答案 y2x 或 x28y解析 设所求抛物线的标准方程为 y22mx(m0)或 x22ny(n0)，代入点 P(4，2)，解得 m 或 n4，12所以所求抛物线的标准方程为 y2x 或 x28y.4以双曲线1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_x216y29答案 y216x解析 双曲线的方程为1，x216y29右顶点为(4,0)设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，则 4，即 p8，p2抛物线的标准方程为 y216x.5已知抛物线 C1：y2x2与抛物线 C2关于直线 yx 对称，则 C2的准线方程是_答案 x18解析 y2x2关于 yx 对称的曲线为抛物线 y2 x，其准线方程为 x .12186已知一个圆的圆心 C 在抛物线 y24x 上，并且与 x 轴、抛物线的准线都相切，则此圆的半径为_答案 2解析 设圆心 C(x0，y0)，则 y 4x0，2 0依题意得，半径 r|y0|x01|，由得 x01，故圆的半径 r2.7顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是_苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义9答案 x212y解析 因为顶点与焦点距离等于 3，2p12，又对称轴是 y 轴，抛物线的方程为 x212y.8抛物线方程为 7x4y20，则焦点坐标为_答案 (716，0)解析 方程化为 y2 x，抛物线开口向左，2p ， ，故焦点坐标为.7474p2716(716，0)9设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为_答案 3 24解析 如图所示，由已知，得点 B 的纵坐标为 1，横坐标为 ，即 B.将其代入p4(p4，1)y22px，得 12p ，解得 p，故点 B 到准线的距离为 p.p42p2p4343 2410设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y24x 的焦点，A 为抛物线上一点，若4，OAAF则点 A 的坐标为_答案 (1,2)或(1，2)解析 设 A(x0，y0)，F(1,0)，(x0，y0)，OA(1x0，y0)，x0(1x0)y 4.AFOAAF2