苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 1 3.2.3 空间的角的计算空间的角的计算 学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题. 3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲 知识点一 空间角的计算(向量法) 空间三种角的向量求法 角的分类向量求法范围 异面直线所成 的角 设两异面直线所成的角为 ，它们的方向向 量为 a，b，则 cos|cosa，b|. |ab| |a|b| (0， 2 直线与平面所 成的角 设直线 l 与平面 所成的角为 ，l 的方向向 量为 e，平面 的法向量为 n，则 sin|cose，n| |en| |e|n| 0， 2 二面角 设二面角 l 为 ，平面 ， 的法向量 分别为 n1，n2，则|cos|cosn1，n2| . |n1n2| |n1|n2| 0， 知识点二 向量法求线面角、二面角的原理 1向量法求直线与平面所成角的原理 条件直线 l(方向向量为 e)与平面 (法向量为 n)所成的角为 图形 关系 e，n， e，n 0， 2 2 e，n ，e，n 2， 2 计算sin|cose，n| 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 2 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 3 2.向量法求二面角的原理 条件 平面 ， 的法向量分别为 n1，n2， 所构成的二面角的大小为 ， n1，n2 图形 关系 计算coscoscoscos 1两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等() 2若向量 n1，n2分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为 cosn1，n2.() n1n2 |n1|n2| 3直线与平面所成角的范围为.() (0， 2) 类型一 求两条异面直线所成的角 例 1 如图，在三棱柱 OAB-O1A1B1中，平面 OBB1O1平面 OAB，O1OB60， AOB90，且 OBOO12，OA，求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值的大 3 小 解 以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐 OA OB 标系， 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 4 则 O(0,0,0)，O1(0,1，)， 3 A(，0,0)，A1(，1，)， 333 B(0,2,0)， (，1，)， A1B 33 (，1，) O1A 33 |cos，| A1B O1A |A1B O1A | |A1B |O1A | . | 3，1， 3 3，1， 3| 7 7 1 7 异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值为 . 1 7 反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，若能构建空间直角坐标系， 则建立空间直角坐标系，利用向量法求解但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面 直线所成角的区别 跟踪训练 1 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 A1D1，A1C1的中点，求异面直 线 AE 与 CF 所成角的余弦值 解 不妨设正方体的棱长为 2，以 D 点为坐标原点，分别取 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，则(1,0,2)，(1，1,2)， AE CF |，|，1043. AE 5 CF 6 AE CF 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 5 又|cos， AE CF AE CF AE CF cos， ， 30 AE CF cos， ， AE CF 30 10 异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为. 30 10 类型二 求直线和平面所成的角 例 2 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为a，求 AC1与侧面 ABB1A1所 2 成的角 解 以 A 点为坐标原点，AB，AA1所在直线分别为 y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，则 A(0,0,0)，B(0，a,0)， A1(0,0，a)， 2 C1， ( 3 2 a，a 2， 2a) 方法一 取 A1B1的中点 M， 则 M，连结 AM，MC1， (0， a 2， 2a) 有，(0，a,0)， MC1 ( 3 2 a，0，0) AB (0,0，a) AA1 2 0，0， MC1 AB MC1 AA1 ，则 MC1AB，MC1AA1， MC1 AB MC1 AA1 又 ABAA1A，AB，AA1平面 ABB1A1， MC1平面 ABB1A1. C1AM 是 AC1与侧面 ABB1A1所成的角 由于， AC1 ( 3 2 a，a 2， 2a) AM (0， a 2， 2a) 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 6 02a2， AC1 AM a2 4 9a2 4 |a， AC1 3a2 4 a2 4 2a2 3 | a， AM a2 4 2a2 3 2 cos，. AC1 AM 9a2 4 3a 3a 2 3 2 ，0，180，30， AC1 AM AC1 AM 又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 30. 方法二 (0，a,0)，(0,0，a)， AB AA1 2 . AC1 ( 3 2 a，a 2， 2a) 设侧面 ABB1A1的法向量为 n(，y，z)， Error!即Error! yz0.故 n(，0,0) ， AC1 ( 3 2 a，a 2， 2a) cos，n， AC1 nAC1 |n|AC1 | 2| |cos，n| . AC1 1 2 又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 30. 反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角 坐标系，再用向量的有关知识求解线面角方法二给出了用向量法求线面角的常用方法， 即先求平面的法向量与斜线的夹角，再进行换算 跟踪训练 2 如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 ABBC2AD，AS平面 ABCD，ADBC，ABBC，且 ASAB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 的余弦值 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 7 解 由题设条件知，以点 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示) 设 AB1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)，(0,0,1)， ( 1 2，0，0) AS (1，1,1) CS 显然是底面 ABCD 的法向量，它与已知向量的夹角 90， AS CS 故有 sincos， AS CS |AS |CS | 1 1 3 3 3 0，90， cos. 1sin2 6 3 类型三 求二面角 例 3 在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中，ABAC，PA平面 ABCD，且 PAAB，E 是 PD 的中点，求平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角 解 方法一 如图，以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴 建立空间直角坐标系 设 PAABa，ACb，连结 BD 与 AC 交于点 O，取 AD 的中点 F，则 C(b,0,0)，B(0，a,0)， . BA CD D(b，a,0)，P(0,0，a)， 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 8 E，O， ( b 2， a 2， a 2) ( b 2，0，0) ，(b,0,0) OE (0， a 2， a 2) AC 0， OE AC ， OE AC ，0， OF 1 2BA (0， a 2，0) OF AC . OF AC EOF 为平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角(或补角) cos，. OE OF OE OF |OE |OF | 2 2 又，0，180， OE OF 平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45. 方法二 建系如方法一， PA平面 ABCD， (0,0，a)为平面 ABCD 的法向量， AP ，(b,0,0) AE ( b 2， a 2， a 2) AC 设平面 AEC 的法向量为 m(x，y，z) 由Error! 得Error! x0，yz，取 m(0,1,1)， cosm， . AP mAP |m|AP | a 2a 2 2 又m， 0，180， AP 平面 AEC 与平面 ABCD 的夹角为 45. 反思与感悟 1.当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无 需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判 断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 9 结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.2.注意法向量的方向：一进一出， 二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 跟踪训练 3 如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，ABAC2，A1A4，点 D 是 BC 的中点 (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值； (2)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值 解 (1)以 A 为坐标原点，分别以 AB，AC，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以 (2,0，4)，(1，1，4) A1B C1D 因为 cos， A1B C1D A1B C1D |A1B |C1D | 18 20 18 ， 3 10 10 又异面直线所成角的范围为， (0， 2 所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为. 3 10 10 (2)设平面 ADC1的法向量为 n1(x，y，z)， 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 10 因为(1,1,0)，(0,2,4)， AD AC1 所以Error! 即Error!取 z1，得 x2，y2， 所以 n1(2，2,1)是平面 ADC1的法向量 同理，取平面 ABA1的法向量为 n2(0,1,0) 设平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的大小为