苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 1 1 空间向量加减法运用的三个层次 空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加 减法运算 第 1 层 用已知向量表示未知向量 例 1 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设 a，b，c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示 AA1 AB AD 以下各向量： (1)；(2)；(3). AP A1N MP NC1 解 (1)P 是 C1D1的中点， a AP AA1 A1D1 D1P AD 1 2 D1C1 acac b. 1 2AB 1 2 (2)N 是 BC 的中点， ab A1N A1A AB BN 1 2BC abab c. 1 2AD 1 2 (3)M 是 AA1的中点， MP MA AP 1 2A1A AP 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 2 a a bc， 1 2 (ac 1 2b) 1 2 1 2 又 NC1 NC CC1 1 2BC AA1 ca， 1 2AD AA1 1 2 MP NC1 ( 1 2a 1 2bc) (a 1 2c) a b c. 3 2 1 2 3 2 点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正 确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法 则在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成 立 第 2 层 化简向量 例 2 如图，已知空间四边形 ABCD，连结 AC，BD.设 M，G 分别是 BC，CD 的中点，化 简下列各表达式，并标出化简结果的向量 (1)； AB BC CD (2) ()；(3) () AB 1 2 BD BC AG 1 2 AB AC 解 (1). AB BC CD AC CD AD (2) () AB 1 2 BD BC AB 1 2BC 1 2BD . AB BM MG AG (3) () AG 1 2 AB AC . AG AM MG ，如图所示 AD AG MG 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 3 点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾 相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为 0.两个向量相加的平行四边形法则在空 间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则 第 3 层 证明立体几何问题 例 3 如图，已知 M，N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且 G 为 AM 上 一点，且 GMGA13.求证：B，G，N 三点共线 证明 设a，b，c， AB AC AD 则 BG BA AG BA 3 4AM a (abc) a b c， 1 4 3 4 1 4 1 4 () BN BA AN BA 1 3 AC AD a b c. 1 3 1 3 4 3BG ，又与有公共点 B， BN BG BN BG B，G，N 三点共线 2 空间向量易错点扫描 易错点 1 对向量夹角与数量积的关系理解不清 例 1 “ab1，即 a2 时，该圆与边 BC 相交，存在 2 个点 Q 满足题意； a 2 当 1，即 0a2 时，该圆与边 BC 相离，不存在点 Q 满足题意 a 2 综上所述，当 a2 时，存在点 Q，使； PQ QD 当 0a2 时，不存在点 Q，使. PQ QD