第三十六讲 直接证明与间接证明,回归课本 证明 1.证明分为直接证明与间接证明.直接证明包括综合法分析法等;间接证明主要是反证法. 2.综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义定理公理,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.,3.分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件定义定理公理等)为止.这种证明方法叫做分析法. 4.反证法:一般地,由证明pq转向证明 qrt,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定q为假,推出q为真的方法,叫反证法.,考点陪练 1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件 解析:根据分析法的要求,只要能找到一个条件使结论成立即可,并不需要是等价条件(充要条件),只需要是充分条件即可. 答案:A,2.用P表示已知,Q表示要证的结论,则综合法的推理形式为( ) A.PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ B.PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ C.QQ1Q1Q2Q2Q3QnP D.QQ1Q1Q2Q2Q3QnP 答案:A,3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( ) A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析:此题实际是一个命题的否定问题,“至多有一个”“至少有两个”是对应的,此题极易错选为C或A. 答案:B,4.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是( ) 与已知矛盾;假设矛盾;与定义公理定理法则矛盾;与事实矛盾. A. B. C. D. 答案:D,5.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边abc应满足什么条件( ) A.a2b2+c2 D.a2b2+c2答案:C,类型一 综合法 解题准备:1.用P表示已知条件、已有的定义、定理等,Q表示所要证的结论,则综合法可用框图表示为:,2.综合法是“由因到果”,即由已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论.综合法又叫做顺推证法或由因到果法. 3.综合法格式:从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是“,”或“”.,反思感悟 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围是: (1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式等. (2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型.,类型二 分析法 解题准备:1.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为,2.分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件,因此分析法又叫做逆证法或执果索因法. 3.分析法格式:与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐靠近已知(已知条件,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的,它的常见书写表达式是“要证只需”或“”. 4.综合法和分析法均属于直接证明的方法,经常要把两种方法结合起来用,也就是说“两头凑”,会使问题容易解决.,反思感悟在解决问题时,根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q,根据结论的特点转化得到中间结论P,归结为证明PQ之间的关系,通常用分析法寻找思路,综合法完成证明.,类型三 反证法 解题准备:1.反证法是间接证明的一种方法,在数学研究和考试中有着重要的作用.一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题的成立,这样的证明方法叫做反证法. 2.反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律:一个事物是A或 ,二者必居其一,反证法即证明结论的反面错误,从而结论正确.,3.用反证法证明问题的步骤:(1)分清命题的条件和结论,假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(3)从矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 4.适宜用反证法证明的数学命题:(1)结论本身是以否定形式出现的命题;(2)关于唯一性、存在性命题;(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题;(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.,【典例3】已知a,b,c是互不相等的实数. 求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点. 证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点),由y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得1=(2b)2-4ac0, 2=(2c)2-4ab0, 3=(2a)2-4bc0.,同向不等式求和得, 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca0, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)20, a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证. 反思感悟本题是“至少”型命题,直接证明比较困难,因此可用反证法,即否定命题寻找矛盾命题得证.,错源 逻辑不严密【典例】如图,设四面体P-ABC中,ABC=90,PA=PB=PC,D是AC中点,求证:PD平面ABC.,错解PA=PC,D是AC的中点, PDAC. 又BCAB, BCPD. 又ACBC=C, PD平面ABC. 剖析本题错误的原因在于证明PDBC时没有理论依据,完全凭感觉,没有逻辑感.,正解连接BD,因为BD是 RtABC斜边上的中线, 所以DA=DC=DB. 又PA=PB=PC,而PD是公共边, PADPBDPCD, PDA=PDC=PDB=90, PDAC,PDBD, 又AC,BD为平面ABC内两相交的直线. PD平面ABC.,1.横向联系,多解求优,3.巧用结论,妙法解题,答案A,