第2讲,等差数列,1等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 d，这个数列叫做等差数列，常数 d 称为等差数列的公差2通项公式与前 n 项和公式a1 为首项，d 为公差，,(1)通项公式 an_；,(2)前 n 项和公式 Sn_或_.,a1(n1)d,3等差中项,如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即：A 是 a 与 b 的等差中项2A_a，A，b 成等差数列4等差数列的常用性质(1)数列an是等差数列，则数列anp、pan(p 是常数)都是等差数列(2)若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq；特别地，若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.,ab,(5)等差数列的单调性：若公差 d0，则数列单调递增；若公差 d0，则数列单调递减；若公差 d0，则数列为常数列,(4)若等差数列an的前n项和为Sn，则Sk，S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差数列,1设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，已知 a23，a611，,则 S7 等于(,),C,A13,B35,C49,D63,B,2已知an为等差数列，a1a38，S410，则 a6 等于(,),A4,B8,C12,D16,3在等差数列an中，若 S11220，则 a6_.,20,10,4已知数列an为等差数列，且a1a7a13 ，则tan(a2a12)_. 5已知Sn为等差数列an的前n项和，a11，a47，Sn100，则n_.,考点1 等差数列的基本量运算,例1：等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1020，S10155.(1)求数列an的通项公式；(2)若Sn410，求n.,在解决等差数列问题时，已知a1，an，d，n，Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”而求得a1和d是解决等差数列an所有运算的基本思想和方法,【互动探究】,10,1(2011年广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k_.,2(2011 年湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一根 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3,升，下面 3 节的容积共 4 升，则第五节的容积为(,),B,考点2 求等差数列的前n项和,例2：已知Sn为等差数列an的前n项和，S10100，S10010，求S110.,解题思路：利用方程的思想将Sn表示成关于a1，d的方程，或利用等差数列的性质,【互动探究】3(2011 年江西)设an为等差数列，公差 d2，Sn 为其前,n 项和若 S10S11，则 a1(,),B,A18,B20,C22,D24,25,解析：S10S11，a110.a11a110d，d2，a120.,考点3 等差数列性质的应用,例 3：(1)已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和，a6100，则 S11,_；,(2)若一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且所,有项的和为 780，则这个数列的项数 n_.,解题思路：(1)利用等差数列的有关性质求解(2)利用等差数列的前 4 项和及后 4 项和求出 a1an，代入 Sn 可求项数 n.,答案：(1)1 100 (2)39,利用等差数列an的性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq”可以把an与Sn结合起来，给计算带来很大便利，是解决等差数列的有效方法,【互动探究】,74,5(2011年重庆)在等差数列an中，a3a737，则a2a4a6a8_.,解析：a2a4a6a82(a2a8)2(a3a7)74.,思想与方法,13利用函数的思想求等差数列前 n 项和的最值,例题：设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a312，S120，,S130.,(1)求公差 d 的取值范围；,(2)指出 S1，S2，S12 中哪一个值最大，并说明理由,(2)方法一：由d0，可知a1a2a3a12a13. 因此，若在1n12中，存在自然数n，使得an0，an10， 则Sn就是S1，S2，S12中的最大值 由于S126(a6a7)0，S1313a70， 即a6a70，a70，由此得a6a70. 故在S1，S2，S12中S6的值最大,1等差数列的判定方法,(1)定义法：an1and(nN*，d是常数)an是等差数列(2)中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)an是等差数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B是常数，A0)an是等差数列,2解决与等差数列有关问题时常见的思想方法(1)函数思想：在等差数列中andnc(d，c为常数)是关于n的一次函数(或常数函数)，Snan2bn(a，b为常数)是关于n的二次函数(或一次函数)(2)方程思想：准确分析a1，d，an，Sn，n之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”(3)整体思想：在应用等差数列an的性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq”时，要会用整体思想进行代换,等差数列的前 n 项和公式可写成二次式 Snan2bn(a，b 为常数)，要注意常数项为 0 这一特点；等差数列的基本运算和性质应用并不是相互独立的，在实际问题中要注意做到综合考虑，使其相辅相成,