第5章 计算智能(2) 模糊计算,信息学院 周桂红 电话：13731267896,模糊性是指客观事物在形态和属性方面的不确定 （1）模糊性与随机性 随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的，可以明确地判定该事件在某特定的时刻发生了还是没有发生。随机性用概率来度量，并要求所有可能事件的概率总和为1。 模糊性所描述的现象或概念本身的“边界”是不清楚的。模糊性是用“可能性”（介于0和1之间）来度量的，并且不要求可能性总和为1。,5.1 模糊逻辑基础,模糊逻辑是一种精确解决不精确、不完全信息的方法。模糊逻辑可以比较自然地处理人的概念，它是通过模仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确信息的方法和工具。 例如：通常我们评判一个成年男子，当他的身高：低于1.60米矮个子1.69米中等1.80米高个子大于1.90米非常高,5.2 模糊集合及模糊逻辑,经典集合对事物只用“1”和“0”作简单的表示“属于”和“不属于”的分类；而模糊集合则把它扩展成可用从0到1之间连续变化的值，来描述元素属于该集合的程度。,定义：设U是给定论域， 是把任意U映射为0，1上某个值的函数，即：U0，1u (u) 则称F为定义在U上的一个隶属函数，由F(u)对所有(u U)所构成的集合F称为U上的一个模糊集， F(u)称为u对F的隶属度。隶属函数表示该元素隶属于F的程度或可能性，值越大表示隶属的程度越高。这种方法在具体实现时，应把隶属度为零的元素剔除掉，否则消耗资源太多,5.2.1 模糊集合与隶属函数,例：设论域U=20，30，40，50，60 给出的是年龄，确定一个刻画模糊概念“年轻”的模糊集F.假设对论域U中的元素，其隶属函数值分别为F(20)=1, F(30)=0.8, F(40)=0.4, F(50)=0.1, F(60)=0则其模糊集为F=1,0.8,0.4,0.1,0,模糊集合的表示方法对离散且为有限论域U=u1, u2, un其模糊集可表示为F=F(u1), F(u2), F(un) 为表示出论域中的元素与其隶属度之间的对应关系，可用如下表示方法：F= F(u1)/u1+F(u2)/u2+ +F(un)/un F= F(u1)/u1,F(u2)/u2, ,F(un)/un F=( F(u1),u1),(F(u2),u2) (F(un),un) 如：F=1/20+0.8/30+0.4/40+0.1/50,对连续论域，模糊集可用实函数表示。如： U=1，100当0u25当25u100当0u50当50u100模糊集的一般表示形式：,5.2.2 模糊集合上 的运算设F、G分别是U上的两个模糊集，若对任意uU，都有F(u)=G(u)成立，则称F等于G，记为F=G. 设F、G分别是U上的两个模糊集，若对任意uU，都有F(u)G(u)成立，则称F含于G，记为F G. 设F、G分别是U上的两个模糊集，则FG、FG分别称为F与G的并集、交集，其隶属函数分别为：FG:FG(u)=maxF(u),G(u)= F(u)G(u)uUFG:FG(u)=minF(u),G(u)= F(u)G(u)uU设F是U上的模糊集，称F为F的补集，其隶属函数为：F: F(u)1- F(u),例：设U=1,2,3,F和G分别是U上的两个模糊集，即F=小=1/1+0.6/2+0.1/3G=大=0.1/1+0.6/2+1/3FG=(10.1)/1+(0.60.6)/2+(0.11)/3=1/1+0.6/2+1/3FG=(10.1)/1+(0.60.6)/2+(0.11)/3=0.1/1+0.6/2+0.1/3F=(1-1)/1+(1-0.6)/2+(1-0.1)/3=0.4/2+0.9/3两个模糊集之间的运算是逐点对隶属函数做相应的运算。,5.2.3 模糊关系及其合成运算 设V与W是两个普通集合，V与W的笛卡儿乘积是由V与W上所有可能的序偶（v，w）构成的一个集合，即：VW=(v,w)|任意vV, 任意wW从V到W的关系R，是指VW上的一个子集，即R VW记为： V W若（v，w）R,则v与w有关系；若（v，w） R,则v与w无关系；例：设V=1班，2班，3班W=男队，女队则 VW=(1班，男队）,(2班，男队）,(3班，男队）,(1班，女队）,(2班，女队）,(3班，女队）,设Fi是Ui(i=1,2,n)上的模糊集，则称为F1,F2,Fn的笛卡尔乘积，是U1U2Un上的一个模糊集。 在U1U2Un上的一个n元模糊关系R指以U1U2Un为论域的一个模糊集，记为uR(u1,u2,un)是模糊关系R的隶属函数，它把U1U2Un上的每一个元素（ u1,u2,un)都映射为 0，1上的一个实数，反映u1,u2,un具有关系R的程度。,例：设有一组学生U=u1,u2=秦学，郝万一些在计算机上的活动V=编程，上网，玩游戏uR(秦学，编程）=0.9，uR(秦学，上网）=0.6，uR(秦学，玩游戏）=0，uR(郝万，编程）=0.2， uR(郝万，上网）=0.3， uR(郝万，玩游戏）=0.8 则UV上的模糊关系R为R= 0.9 0.6 00.2 0.3 0.8,模糊关联关系的构造方法,if （x is A） then （y is B）， 其中A，B是两个模糊集合，则关联关系R可形式地表示为： R=（x，y），R（x，y）|（x，y）XY，其中 ，隶属函数R（x，y）有多种构造方法。 （1） Mamdani算法（应用最广的关联函数）R（x，y）=minA（x），B（y） 或 R（x，y）=A（x）* B（y） （2） Zadeh算法R（x，y）=maxminA（x），B（y），1-A（x） ,模糊关联关系的构造方法,例如：if （温度偏低） then （电压增大），该规则的温度论域T=0，5,10，15，20，25，电压的论域V=0,25,50,75,100模糊集合（温度低）A=(0,1),(5,0.8),(10,0.6),(15,0.4),(20,0.2),(25,0)模糊集合（压力增大） B=(0,0),(25,0.25),(50,0.5),(75,0.75),(100,1)则按上述三种方法构造的三种关联关系分别为：,模糊关联关系的构造方法,按Mamdani算法（1）按Mamdani算法（2）Zadeh算法,模糊关系的合成设R1与R2是分别是UV与VW上的两个模糊关系，则R1与R2的合成是从U到W的一个模糊关系，记为R1 。R2其隶属函数为uR1 。R2(u,w)= uR1(u,v) uR2(v,w)例：设有以下两个模糊关系0.9 0.6 0 0.7 0.9R1= 0.2 0.3 0.8 R2= 0.2 0.80.5 0.3则R1与R2的合成是R=R1 。R2= 0.7 0.90.5 0.3,模糊变换设F=uF(u1), uF(u2), uF(un),是论域U上的模糊集，R是UV上的模糊关系，则F 。R=G 称为模糊变换。例：设F=1,0.6,0.2)1 0.5 0 0 R= 0.5 1 0.5 0 0 0.5 1 0.5 则G=F 。R= 110.60.50.20, 10.50.610.20.5, 100.60.50.21, 100.600.20.5=1,0.6,0.5,0.2,5.3 模糊逻辑推理 1、语言变量模糊逻辑中使用的变量是语言变量，指用自然语言中的词或句子表示的变量。 语言变量用一个有五个元素 的集合来表征，其中X是语言变量名；T(X)为语言变量的项集合，即语言变量X的名集合，且每个值都是在U上定义的模糊数xi；U为语言变量的论域；G为产生X数值名的语言值规则，用于产生语言变量值的；M为与每个语言变量含义相联系的算法规则。它们的相互关系可用下图表示，语言变量通过模糊等级规则，可以给它赋予不同的语言值以区别不同的程度。如图所示:,“速度”为一语言变量，可以赋予很慢，慢，较慢，中等，较快，快，很快等语言值。这里用不同的语言值表示模糊变量速度形态程度的差别，但无法对他们的量做出精确的定义，因为语言值是模糊的，所以可以用模糊数来表示。在实用中，为了方便于推理计算，常常还要用模糊定位规则，把每个语言值用估计的渐变函数定位，使之离散化，定量化和精确化。这样项集合就可以写成这样的形式：其中项集合（速度）中的每一个左右项都与论域中的一个模糊集对应。,我们可以把“慢”看成低于50km/h的速度；“中速”为接近70km/h；“快”为高于90km/h.。以四个项为例，这些项可用隶属函数如图所示的模糊集来表示。,2、模糊修饰语的表示（语言算子）1）求补 :表示否定时（不，非），其隶属函数为u非F(u）=1- uF(u) u0，12）集中：表示“很”、“非常”等，其效果是减少隶属函数的值：u非常F(u）=uF2(u) u0，13)扩张：表示“有些”、“稍微”等，其效果是增加隶属函数的值：u有些F(u）=uF1/2(u) u0，14）加强对比：表示“明确”、“确定”等，其效果是增加0.5以上隶属函数的值，减少0.5以下隶属函数的值：2uF2(u) 若0uF(u) 0.5u确实F(u）= 1-2（1-uF(u)）2 若0.5uF(u) 1,把条件模糊化：即条件用一个模糊谓词公式来代替，并定义一种模糊匹配原则，当该规则的条件被目前已知的对象模糊地匹配上以后，就可应用该规则 把动作或结论模糊化：使动作或结论具有一种可信度（以0，1之间的数表示）。或结论就是一个模糊谓词，表示一个模糊概念；或动作本身就是一个模糊动作。 设置阈值（0 1）：只有当条件谓词公式的真值大于等于时，该规则才可应用,3、模糊规则规则的一般形式是： IF 条件 THEN 动作（结论）,模糊规则举例： IF x is A THEN y is B（若x是A，那么y是B） 其中，设A的论域是U，B的论域是V，A与B均是语言变量的具体取值，即模糊集合，x与y是语言变量名。如：如果张三比较胖则运动量比较大 其中x就是“张三的体质”， y是“运动量”，“比较胖”和“比较大”分别为x和y的取值之一。模糊规则中，模糊集合A与B之间的关系是模糊蕴含关系，其定义有多种，见模糊关联关系的构造。,模糊概念的匹配模糊概念的匹配指对两个模糊概念相似程度的比较与判断。 （1）语义距离海明距离：设U=u1, u2, un是一个离散有限论域，F和G分别是论域U上的两个模糊概念的模糊集，则F和G的海明距离为：如果论域U是实数域上的某个闭区间a,b，则海明距离为：,例：设论域U=-10，0，10，20，30表示温度，模糊集 F=0.8/-10+0.5/0+0.1/10G=0.9/-10+0.6/0+0.2/10 表示“冷”和“比较冷”，则d(F,G)=0.2（|0.8-0.9|+|0.5-0.6|+|0.1-0.2|）=0.2 0.3=0.06匹配度：1-d(F,G)语义距离越小，说明两者越相似。,贴近度：指两个概念的接近程度。设F和G分别是论域U=u1, u2, un上的两个模糊概念的模糊集，则它们的贴近度定义为(F,G)= (F .G+(1-FG)其中： F .G= (uF(ui) uG(ui) F与G的内积UFG= (uF(ui) uG(ui) F与G的外积U 例：论域U及其上的模糊集F和G如上例，则F .G=（0.80.9)（0.50.6)（0.10.2）（00）（00）=0.80.50.100=0.8 FG=（0.80.9）（0.50.6）（0.10.2）（00）（00）=0.90.60.200=0 （F,G)=0.5(0.8+(1-0)=0.51.8=0.9贴近度越大，说明两者越相似。,