4 解析函数的物理意义,1. 用复变函数描述平面向量场,设有向量场,图2-7,如果这个向量场中所有向量都与某个平P平行, 而且在垂直于这平面P的直线上每一点处, 于任一固定时刻t, 场中向量都彼此相等, 那末就称该向量场为平面平行向量场, 简称为平面向量场（图2-7）.,从而,例如,可以表示一个流速场。,表示平面电场,2. 平面流速场的复势,设向量场v是不可压缩的（即流体密度不因流体受到,的压力而改变）定常的理想流体的流速场:,如果它在单连通区域B内是无源场（即管量场）,则其散度为零,即,此即,从而知,是某个二元函数,的全微分,即存在二元函数,使得,因此有,因为沿等值线,有,因为沿等值线,有,由此知，在等值线,上每一点处的向量 v 都,与等值线相切,因而在流速场中, 等值线,就是,流线.,-流函数,如果v又是B内的无旋场（即有势场）,即其旋度,是某个二元函数,的全微分,即,从而有,即,从而有,由此可得,-势函数,-等势线,由以上讨论知， 在单连通区域 B 内向量场 v 即是无,源场又是无旋场，则有,同时成立，,即有,CR方程,由解析函数的导数公式，有,例23 设不可压缩流体运动的复势函数为,求该运动的速度场、流线以及势函数的等值线.,解,因为,解,因为,所以在场中任一点z（z0）处的速度为,另外, 由复势函数,可得,另外, 由复势函数,可得,其中,由此知, 势函数的等值线是以原点为中心,的圆周,而流线则是由原点出发的射线,3. 静电场的复势,设有平面静电场,如果假设在该场内没有带电物体, 则该静电场是一个无,源无旋的平面向量场.,因为E是无源场, 故其散度为零, 即,-力函数,-电力线,又因为场E是无旋场,-等势线,-势函数,对于,成立.,-静电场E的复势,