第八章 应力状态分析 8.1概述,1. 简单变形（拉压、扭转、平面弯曲）某点横截面有应力，通过该点的斜截面上是否也有应力？,一、应力状态的概念 一点的应力状态是指该点处各截面上的应力情况。,几个问题,轴向拉伸横截面上的应力,轴向拉伸斜截面上的应力,2. 如果斜截面上有应力，是否需要研究？,从两种不同材料的扭转试验可知，低碳 钢在横截面破坏，铸铁在斜截面破坏，所以 斜截面上的应力当然要研究！,应力点的概念: 不同点处应力不同。 应力面的概念：同一点处不同截面上的应力不同。 应力状态的概念：过一点不同截面上应力的的集合，称为这一点的应力状态。,应力的三个概念,应力必须指明是哪点、哪个截面上的应力。,单元体：用六个相互垂直的平面截取的微小六面体。,（1）各边长为无穷小直六面体；dx,dy,dz0,（2）各面应力均匀分布；,（3）平行两面对应应力数值相等。,二、一点应力状态的描述,平行两面对应应力数值相等,一点应力状态,单元体的取法：原则：各面应力已知或可求。,S平面,三、主平面 主应力,1.主平面切应力等于零的平面。一点处一般有三个主平面，互相垂直。 2.主应力主平面上的正应力。一点处一般有三个主应力，按代数值大小排 列分别记为 s1 ， s2 ， s3，且,四、一点应力状态的分类,1.单向应力状态只有一个主应力不为零。,单元体,简化表示,2.二向（平面）应力状态有两个主应力 不为零。,单向应力状态,纯剪应力状态,特例,3.三向（空间）应力状态三个主应力 都不为零。,三向应力状态,二向应力状态,8.2 二向应力状态分析解析法,一、平面应力状态的一般情形,二、任意斜截面上的应力,新方法只要知道微元体六个面上的应力，任意斜截面上的应力便可通过局部平衡求出。1. 任意斜截面的表示方法,a面斜截面自x轴正向逆时针转到a 面外法线时a 角定义为正。,任意斜截面的表示方法,2.应力的正负号规定,正应力以拉应力为正，压应力为负。,绕单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。,切 应 力,3.任意斜截面上的应力,平衡对象用 斜截面截取的局部单元,参加平衡的量应力乘以其作用的面积,平衡方程,sa dA,=0,ta dA,=0,根据切应力互等定理,及三角函数关系,整理后得到,（8-1）,（8-2）,由式（8-1）、（8-2）可得，,某点处互相垂直的两个截面上的正应力之和为常数。,某点处互相垂直的两个截面上的切应力大小相等，方向相反。（切应力互等定理）,三、主平面及位置,式（8-1）对a 求导，得,正应力取极值的截面上其切应力为零，即为主平面。 主平面上的正应力为主应力，为最大值或最小值。,由,式（8-3）可求出相差900的两个角a 0，对应两个互 相垂直的截面上，一个是最大正应力所在截面，另 一个是最小正应力所在截面。,（8-4）,四、面内最大切应力及位置,式（8-2）对a 求导，得,（8-5）,式（8-5）可求出相差900的两个角a 1，对应两个互 相垂直的截面上，一个是面内最大切应力所在截面， 另一个是面内最小切应力所在截面。,（8-6）,式（8-3）和式（8-5）有：,所以有,一、应力圆方程,8.3 二向应力状态分析图解法,二、应力圆的作法,三、应力圆的应用,点面对应应力圆上某一点的坐标值 对应着单元体某一截面上的正应力和切应力值；转向对应半径旋转方向与单元体斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。,1. 单元体与应力圆的对应关系,2. 单元体斜截面上的应力,3. 主应力值及主平面方位,主应力值,主平面方位,4. 面内最大切应力值及其作用面方位,单向拉伸,纯剪切,D,E,例题,求：1. 指定斜截面上的应力；2. 主平面；3. 主应力；4. 面内最大切应力；5. 画出主应力单元体。,x =20 MPa； y= 40 MPaxy= 10 MPa； = 30 o,已知：单元体如图，图中应力单位为MPa。,解析法: （ 1 ）建立坐标系,（2）求sa ，ta,=13.7 MPa,注意: sa ，ta 算好后按实际方向画在原图上,（3）求主平面,a0 = 9.22, 99.22,（4）求主应力, s1= 41.6 MPa, s2 = 0 s3=21.6 MPa,注：主应力smax 的方向是sx与sy中 的较大者，顺单元体切应力 t 的指 向偏转a0角中绝对值较小角而得。主应力单元体须另画图。,（6）求面内最大切应力,（5）画主应力单元体,图解法: （ 1 ）画应力圆,（2 ）求应力圆上的几何数据,应力圆半径,B截面与最大正应力 所在主平面夹角a0,a0 = 9.22,60,（3）求sa ，ta,（4）求面内最大切应力,一、梁的主应力,8.4 梁的主应力和主应力迹线,梁在横力弯曲时的正应力和切应力为：,mm截面上 的应力分布,梁内任意一点处的单元体及主应力为：,（8-8）,二、梁的主应力迹线,mm截面上 各点的主应力方向,注：中性轴以上横截面受压，主应 力s1 与铅直方向的夹角小于450。 中性轴以下横截面受拉，主应力s1 的方向与水平方向的夹角小于450。,主应力迹线：在梁的平面内绘制的两组正交 的曲线，曲线上各点的切线方向为该点的主 应力方向。,图示受均布载荷作用简支梁的主应力迹线。及 根据主应力迹线做的配筋图。,实线主应力s1 的迹线；虚线主应力s3的迹线。,一、定义三个主应力都不为零的应力状态。 二、三向应力状态应力圆可利用主应力单元体做出。,8.5 三向应力状态分析,三向应力状态的主应力单元体,三种特殊的斜面,平行于s1的斜面上的应力与s1无关， 由s2 、 s3可作出应力圆 I,平行于s3的斜面上的应力与s3无关， 由s1 、 s2可作出应力圆 II,平行于s2的斜面上的应力与s2无关， 由s1 、 s3可作出应力圆,三向应力圆,三种特殊斜截面上 的应力在圆上,任意斜截面上 的应力在三圆所围区域内,三、极值应力1. 极值正应力 smax= s1smin=s3,2. 极值切应力,面内最大切应力,某点处最大切应力,例题,求图示单元体的主应力 和最大切应力。 解：这是主应力单元体，由定义，s1= 60 MPa s2= 30 MPa s3=50 MPa,例题,解：这是特殊三向应力状态，已知 一个主平面和主应力，另两个主平面 和主应力可按平面应力状态计算。, s1=15 MPa s2=12 MPa s3=11 MPa,求图示单元体的主应力 和最大切应力。,例题,解：已知一个主应力40MPa,另两个主应力可按纯剪切应力状态结论直接写出。s1=40 MPa, s2=30 MPa,s3=30 MPa,求图示单元体的主应力 和最大切应力。,各向同性材料，应力不超过材料的比例极限。胡克定律成立,8.6 广义胡克定律,一、广义胡克定律,三向应力状态的广义胡克定律叠加法,叠加,广义胡克定律的一般情形,注意,（1）线应变只与正应力有关，与切应力无关；切应变只与切应力有关，与正应力无关。 （2）一个方向的线应变不仅与该方向的正应力有关，而且与两个垂直方向的正应力有关。因此，考察一个方向的线应变时，需要考虑三个互相垂直方向的正应力。,二、体积胡克定律,单元体原体积V=dxdydz,变形后的体积,体积应变,体积弹性模量,平均应力,2.求t,3.求Me,例题,解：1. 由应力状态分析画单元体,已知: 扭转材料的 求: Me,一、外力功与应变能,8.7 弹性固体的应变能,1. 外力功W,载荷在其作用点位移上所做的功。,(1) 常力做功,W=FD,W=Mq,对于一般弹性体,F-D 图下方面积,(2) 静载做功,静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到 弹性体上的载荷，静载做功属于变力做功。,对于线弹性体,2. 应变能Ve,弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。,由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所做的功W。（忽略能量损失）,即 Ve= W,F为广义力，D为广义位移。,二、线弹性体的应变能,1. 轴向拉压,FN为变量时,2. 扭转,MT为变量时,3. 平面弯曲,横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当 l /b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的 3.,纯弯曲,横力弯曲M(x)为变量,应变能Ve是内力（FN、MT、M）的二次 函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几 种载荷只在本身的变形上做功，而在其它载 荷引起的变形上不做功，则应变能可以叠加。,三、线弹性体的应变能密度,应变能密度,1. 单向拉压的应变能密度,2. 纯剪切的应变能密度,3. 复杂应力状态下的应变能密度,三向应力状态下，假定各主应力按比例同 时从零增加到最终值，每一主应力与相应的主 应变仍为线性关系，所以,复杂应力状态下的应变能密度为,复杂应力状态下的应变能密度v e,因体积变化、形状不变而储存的应变能密度。,体积改变能密度vV,畸变能密度vd,因形状改变体积不变而储存的应变能密度。,图示单元体三个正应力相 等，只有体积改变能。,图示单元体三个正应力不 相等，且三个正应力之和 为零，只有形状改变能。,注意：由于应力、应变与应变能密度不是线性关系， 所以应变能密度一般不符合叠加原理。,注意,畸变能密度vd,单向应力状态时：,