_InformationOptics2.3标量衍射的角谱理论(书2.2节)2.3-1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数(书2.2.1)在z-0平面上的复振幅分布为:exp/2(咖十(u0二exp/2(x+)e在z-zu平面上的复振幅分布为;exp(/2二:)exp/z(/w+(mC0S公=exp(j27二。)exp互2(膺十】!)_exp(j27COS7:。)exP/zms+coS厂儿人_InformationOptics可见,单色平面波从z-0平面传播到z-zu平面上,其在x-y平面上的相位分布不变,只是整体发生一个相移:cosX2)儿而e【p/2万(十佐)e烹pz万c董鹰c十co亘/箩正好是线性平移不变系统的本征函数。这说明,相干光场在给定两平面间的传播相当于通过一个线性空间平移不变系统,单色平面波的复振幅分布是这个系统的本征函数。一定空间频率对应一定的空间传播方向,不同空间频率对应不同的空间传播方向。用传播角度表示空间频谱一一角谱。exp(127_InformationOptics2.3-2角谱的传播一、波动方程(WaveEquation)与亥姆霍兹方程(QelmotEquation,)vX荤二一亟01s)二7明5含_n毛其中;/是传导电流-井-五p是自由电荷密度V.D=pB=0v)(盂_:_誓在无源空间中,变为:|五_驭5-咒-an下一邦口=及井A双VD=嫖_InformationOptics在无源的各向通同性介质中,经推导可的各向通同性介质中的波动方程:_卯,卯,尔“拉普拉颜B5+8F+砂“探算符V】E_菩鲤=1史8QJ武|575仁顽h的先途五工区7友-认570=厂砂a页V=/飘真空中的光速真空或空气中,有sl,41;不考虑光波场的矢量特性,即不考虑偏振特性,或者仅考虐光波场的一个分量,则光波函数可用一个标量来表示._InformationOptics设标量光波函数用(cuvz;0表示,则波动方程为:=0(B)式V:-一787对于单色光场,有以下形式:QCkJvz:0-UKrgyzJexpGan)代上式得V2+尻U(Cr,5)=0(C式该式称为亥妹雪兹方程真空或空气中,K=2z/2=2zWc,称为波数.它与时间量无关,是无源各向同性均匀介质中传播的单色光场的复振幅必须满足的波动方程.对单色光场,该式与(B)式是等价的。在求解单色光场的空间分布时,用亥姆霍兹方程更方便._InformationOptics二、角谱的传播(书2.2.2)Xo小0水小cosCcos又“丶_二(髻05鹰，c_)s婶;二)丿B动(;0)刀二用么万万y年平60SCcosBve05Q,c0s,cosCcosz“(h)_王玉粼东吊0)e叩/z(F。)7里cosCms_cosQ,505,cosacosp.(rz52)二Ij嘉(,】)eXP/2(力+顶J)r刻_InformationOptics现在要考虑:1“(co亘c0sp:o与c0s，s;5)之间的关系,也就是要考虑角谱是如何从z-=0平面传播到z-=z平面的。即:研究角谱在传播过程中振幅和相位的变化。之Gcq;5)必须满足亥姆霍兹方程,下面将Ux(cu;z)代入方程求解,可得到:哪叟芸萼互涮U(xy;z)是下列分量的线性叟加,各分量之间构成正交系,因此每一分量也必须满足亥姆霍兹方程.c0SCc0S0S乙薯c0S顶婀)eP/z(刹几I)一(_InformationOptics代入到亥姆霍兹方程得:(vz+/)翘(0s鹰Cos浮;zJexp/2(叩S2呱浑川二0汪意到角谱仅是的函数】而复指数函数中不含有z,仅是vy的函数,从而可得角谱所满足的微分方程:0cosc0s婀芸4CX一;5)+尽(L-eosya-eos:)心(ms酗c0亘婀它的一个基札解(古一个解是倒逃波,此处不予讨论)是:;5)=04=(藿0亘蹿cos川jC(ch魔c0s婀)eT)(/虬szarca5)由初始条件得:coscoscosQcoscosCcosC、=及、;:一-,;0(顶顶)=心(顶顶)=“一(顶顶)_InformationOptics所以得到:/(薹=(C0sazc05么箩;)=/40(C05镳,cosa;0)e烹T)(j(;l_c0叠z鹰一c0s2婀林“芸虎“汀该式给出了两个平行平面之间的角谱传播规律。此式表明:已知z平面上角谱后,利用上式可求出它传播到z平面上的角谱、再由IFT,即可求得其光场分布。尔讨论:(U当cosya+cos:对于某一确定的(o,B),该式表示沿空间某一确定方向传播的平面波.当(ouB)取不同值时,该式表示光场中各个角谱分量的传播情况._InformationOptics“该式说明:经过距离的传播,光场中各个平面波分量的振幅不变,只是改变了各自的相对相位.由于各个平面波分量沿不同方向传播,它们到达给定平面所经过的距离不同,相位改变也不同。或者说相位改变量与空间频率(或传播方向)有关。传播方向与z轴夹角/越大(oB越小),宇间频率越高,相位延迟越小;相反,则相位延迟越大。