6. 概 述,研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：对梁作刚度校核；解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。,第七章 弯曲变形,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。与 y 同向为正，反之为负。,2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，自x 轴正向转到 y 轴正向一致为正，反之为负。,二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为： v =f (x),三、转角与挠曲线的关系：,一、度量梁变形的两个基本位移量,小变形,7.2 7.3 梁的挠曲线近似微分方程及 积分法求弯曲变形,一、挠曲线近似微分方程,式（2）就是挠曲线近似微分方程。,小变形,(1),(2),二、积分法求挠曲线方程（弹性曲线）,1.微分方程的积分,积分方程为何用不定积分，可以用定级分吗？,用定积分计算出的并不是某截面对其原位置(与x轴垂直)的转角，而是两截面的相对转角。,是x截面相对于坐标原点处截面的相对转角。,2.积分常数的确定,边界条件 约束条件， 挠曲线必受边界约束限制。 连续条件 相邻挠曲线必须光滑连接。,边界条件,连续条件,适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。,AC、BC挠曲线不同,边界条件、连续条件应用举例,弯矩图三段，共6个积分常数 需6个边界条件和连续条件,边界条件、连续条件应用举例,弯矩图分三段，共6个积分常数需6个边界条件和连续条件,三、画挠曲线大致形状,依据1. 约束条件；2. 荷载情况；3. 凹凸情况由v即M的正负号决定；4. 光滑连续特性。,那一个是正确的？,那一个是正确的？,弯矩叠加得,那一个是正确的？,例求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程并积分,应用位移边界条件求积分常数,解：,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程并积分,应用位移边界条件求积分常数,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,直线方程,积分法求梁的变形 优点：可全面表达挠度和转角； 缺点：方程表达与坐标选择有关，计算量大。,计算梁在多个荷载作用下的变形， 有时只关心个别截面的挠度和转角， 而不一定计算出挠度方程和转角方程， 这时采用叠加法是很方便的。,问题：有没有简单算法？,7.4 用叠加原理求梁的弯曲变形,在材料服从虎克定律和小变形的条件下，几个力共同作用引起梁的变形 ，等于这几个力分别单独作用时引起梁的变形的 代数和。,一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,例按载荷叠加原理求A点转角和C点挠度。,解、载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,(),(),q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加,(),例题,已知：EI=常数 求: fC,分析：fC的组成 P单独作用：,fCM,fBP,Bl/2,M=Pl单独作用：,fBP + Bl/2 （）,fCM （）,结果：,怎样用叠加法确定C和fC?,例题,+,例结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。,=,+,例题,分析： BC段弹性弯曲引起 fCP ，AB段B截面转角引起 B a,EI=常数，求 fC,叠加,注意：引起 B的有两项， q 和qa2，它们的转向不同， 叠加时注意正负号。,(),(),例题：已知 P,E,G，求C点铅垂位移。,分析：AB 弯曲 + 扭转变形， BC 弯曲变形故 C点的挠度由三部分组成 AB弯曲引起的B点下沉AB扭转引起C点位移 BC弯曲引起C点下沉,解：采用逐段刚化法,将AB刚化,计算BC弯曲变形引起的C点的挠度。,(2) 将BC刚化, 即去掉BC，但保留BC对AB的作用力，计算AB弯曲引起的C点的挠度,(3) 将BC刚化计算AB扭转变形引起的C点的挠度,计算B截面扭转角,所以，C点位移为：,一、相当系统的建立1. 相当系统的特点：静定；含有多余未知力；荷载与原结构相同。2.建立相当系统的步骤：判断静不定次数；解除多余约束，代之以多余未知力；其余照原问题画。,7.5 简单超静定梁,1、处理方法：变形协调方程、 物理方程与平衡方程相结合， 求全部未知力。,解：建立相当系统,确定静不定次数，用多余约束力代替多余约束所得到的静定结构原结构的相当系统。,=,A,B,几何方程变形协调方程,+,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（内力、应力、 变形等）,几何方程变形协调方程：,解：建立相当系统,=,例结构如图，求B点约束力。,LBC,C,=,+,=,LBC,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（内力、应力、 变形等）,7.6 提高梁抗弯刚度的措施,一、梁的刚度条件,其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面尺寸； 、确定许用载荷。,(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）,例下图为一空心圆截面梁，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试校核此梁的刚度。,=,+,+,=,=,+,+,图1,图2,图3,解：结构变换，查表求简单载荷变形。,=,+,+,图1,图2,图3,叠加求复杂载荷下的变形,校核刚度,强度：正应力：,切应力：,刚度：,稳定性：,都与内力和截面性质有关。,二、提高梁抗弯刚度的措施,1.选择合理的截面形状,矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b)为1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为,一般的合理截面, .在面积相等的情况下，选择抗弯截面模量大的截面。,.根据材料特性选择截面形状,如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：,2.采用变截面梁,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,3、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。,解:A点处梁的曲率半径为 , 即,