第二章 随机变量及其分布,随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 随机变量的函数的分布,在随机试验中，人们除了对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验结果相联系的变量。在本章中，我们将用实数来表示随机试验的各种结果(数量化)，即随机变量。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随机试验。,在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系X，使其对试验的每个结果 ，都有一个实数X( )与之对应，,试验的结果,实数X( ),对应关系X,则X的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个随机取值的变量，称X为随机变量。,（1）在有些试验中，试验结果本身就是由数量表示的，如掷骰子观察得到骰子的点数1、2、3、4、5、6。 （2）在另外一些随机试验中，试验结果看起来与数量无关，但可以指定一个数量来表示，如抛掷一枚硬币出现正面和反面两种情况，“出现正面”对应数1，“出现反面”对应数为-1，则该试验的每一种可能结果，都是唯一确定的实数与之对应。上述例子表明，随机试验的结果都可以用一个实数来表示，这个数随着试验结果不同而变化，因而是样本点的函数，这个函数就是我们要引入的随机变量。,2.1随机变量,定义1 设E是一个随机试验，S是试验E的样本空间，如果对于S中的每一个样本点 ，有一实数X( )与之对应，这个定义在S上的实值函数X( )就称为随机变量。,由定义可知，随机变量X( )是以样本空间S为定义域的一个单值实值函数。,随机变量定义的几点说明： (1)随机变量X不是自变量的函数而是样本点 的函数，常用大写字母X、Y、Z 或小写希腊字母、 等表示。 (2)随机变量X随着试验结果而取不同的值，因而在试验结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“aXb”的概率是确定的； (3)随机变量X( )的值域即为其一切可能取值的全体构成的集合； (4)引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。,反之，X取某一特定值a时的那些样本点的全体构成样本空间S的一个子集，即它是一个事件，当且仅当A发生才有X=a。,例 一批产品中任意抽取20件作质量检验，作为检验结果的合格品的件数用X表示，则X是随机变量。X的一切可能取值为0，1，2，20X=0表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”；X=1表示事件“抽检的20件产品中恰有1件合格品”；X=k表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格品”。,例 一个地铁车站，每隔5分钟有一列地铁通过该站。一位乘客不知列车通过该站的时间，他在一个任意时刻到达该站，则他候车的时间X是一个随机变量，而且X的取值范围是 0，5,例 在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面赢1元钱，出现反面输1元，则其样本空间为 S=正面，反面，记赢钱数为随机变量X,则X作为样本空间S的实值函数定义为,例 将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现情况的试验中，其样本空间为 S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT.记每次试验出现正面的总次数为随机变量X,则X作为样本空间S上的函数定义为易知，X等于2的样本点构成的子集为 A=HHT,HTH,THH， 故有 类似地，记事件为至多出现一次正面，有,例 在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使用寿命可能是 中的任何一个实数，若用表示灯泡的寿命（小时），则是定义在样本空间 上的函数，即，是随机变量。,练 习 引入适当的随机变量描述下列事件：将3个球随机地放入三个格子中， 事件A=有1个空格， 事件B=有2个空格， 事件C=全有球。进行5次试验， 事件D=试验成功一次， 事件F=试验至少成功一次， 事件G=至多成功3次,关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，即为随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量。,随机变量的分类：随机变量,引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，由对事件及其概率的研究转化为对随机变量及取值规律的研究，这样可以利用数学分析的方法来对随机试验的结果进行深入的研究。,例 某篮球运动员投中蓝圈的概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布。 解 X可取值为0，1，2，记,2.2 离散型随机变量及其概率分布,一、 离散型随机变量及其分布律,1、离散型随机变量的概念,若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可数无穷多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。,2、分布律,定义1 设离散型随机变量X，其所有可能取值为x1, x2, , xk, , 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pk, , 即,则称P(X=xk)=pk(k=1, 2, ) 为随机变量X 的概率分布律或称分布律，也称概率函数。 分布律可用表格形式表示为：,P(X=xk)=pk, (k=1, 2, ) 而且满足（1）P(X=xk)=pk0，(k=1, 2, )（2）,# 概率分布,例 设袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。,解,X=k的所有可能取值为0，1，2,X是一个随机变量,解 设Ai 第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1, A2，A5相互独立，且 P(Ai)=p,i=1,2,5。SX=0,1,2,3,4,5,例 某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。,例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。,解：,二、几个常用的离散型随机变量的概率分布律,1、 两点分布 定义2 若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为：PX=x1=p, PX=x2=1-p ，(0p1) 则称X服从x1, x2处参数为p的两点分布。,特别地，若X服从x1=1, x2=0处参数为p的两点分布，即,则称X服从参数为p的0-1分布,即随机变量只可能取0，1两个值，且 P(X=1)=p， P(X=0)=1-p， (0p1)。,若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为S=e1,e2,我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量,即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。,例 200件产品中，有196件是正品，4件次品，今从中随机地抽取一件，若规定则 于是，X服从参数为0.98的两点分布。,2、二项分布,(1)伯努利(Bernoulli)试验模型（P27）设随机试验满足： 1在相同条件下进行n次重复试验； 2每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 3在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4各次试验是相互独立的， 则称这种试验为伯努利概型或n重伯努利试验。在n重伯努利试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。,以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值为0,1,2,3,n。设每次试验中A发生的概率为p，,发生的概率为1-p=q。,X=k表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即,此为n重贝努里试验中A出现k次的概率计算公式，记为,（2）二项分布定义,若随机变量X具有概率分布律,则称X服从参数为n，p的二项分布，记为XB(n,p) 。 可以证明：,正好是二项式(p+(1-p)n展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当n=1时 PX=k=pk(1-p)1-k(k=0,1) 即为0-1分布。,二项分布的图形特点：,对于固定的n及p，当k增大时，概率PX=k先随之增大直至 达到最大值，随后单调减少，且 当(n+1)p不为整数时，二项概率PX=k在k=(n+1)p时达到最大值； (2)当(n+1)p为整数时，二项概率PX=k在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值；,例 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率。 解：有放回地取3次，且试验条件完全相同和独立，是伯努利试验。设X为所取的3个中的次品数，则 于是有：,例 设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产品中随机地抽查100件，试求所得次品件数的概率分布律。,解 设X=k表示事件“100件产品中有k件次品”，则X可能取值为0，1，2，100。 本题可视作100重贝努里试验中恰有k次发生(k件次品)， XB(100,0.002)。 因此，所求分布律为,例 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。 (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律； (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。,解 (1)由题意，XB(6,1/3)，故X的分布律为：,例 某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少击中目标两次的概率。,解 每次射击看成一次试验，设击中次数为X， 则 XB(400,0.02)， X的分布律为,所求概率为,上例告诉我们两个事实：1虽然每次射击的命中率很小(0.02)，但射击次数足够大(为400次)，则击中目标至少两次是几乎可以肯定的(概率为0.997)。一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中，这事件的发生几乎是必然的，也就是说小概率事件在大量独立重复试验中是不可忽视的。2若射手在400次独立射击中，击中目标的次数不到2次，则P(X0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为XP()。,泊松分布产生的条件：,随机事件流：在随机时刻相继出现的事件所形成的序列。 若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松流。 例如：某网站在一定时间内收到的点击次数；某超市收银台接待的顾客数；某机场降落的飞机数。,泊松(Poisson)定理 设0，n是正整数，若npn=，则对任一固定的非负整数k，有,即当随机变量XB(n, p)，(n0,1,2,)，且n很大，p很小时，记=np，则,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布。,例 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数的泊松分布，求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率. 解：由概率的性质和泊松分布的概率分布，得:,例 一家商店采用科学管理，由该商店的销售记录知道，某种商品每月的销售量服从参数=5的泊松分布，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进该种商品多少件？,解 用X表示该商品每月的销量，则XP()= P(5)。由题意，要求m，使得PXm0.95，即,