数理经济学 Mathematical Economics,天津工业大学经济学院hannah720163.com mathe_economics163.com,使用教材,李晓春编著，数理经济学，北京大学出版社，2006年第一版。 美 蒋中一 :数理经济学的基本方法，刘学 译 秦宛顺 校 商务印书馆 ，1999年 WALTER BOSSERT：Introduction to Mathematical Economics（英文版）,需具备的前提知识,就初级数理经济学而言，需要具备： 1 微观经济学； 2 高等数学,数理经济学的几种定义,数理经济学是“西方资产阶级经济学在理论研究中运用数学方法进行陈述和推理的一个分支科学中国大百科全书经济学卷 数理经济学是“包括数学理论和方法在经济理论中的各种应用”数理经济学手册 数理经济学“仅是一种经济分析的方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知数学定理进行推理的一种方法”数理经济学的基本方法，美蒋中一，1999,Mathematical vs. Non-Mathematical Economics,The objective of mathematical economics is to derive a set of conclusions (or theories) from a given set of assumptions via a process of “reasoning” that is stated and conducted mathematically (example: to maximize profits, a competitive firm must set marginal revenue equal to marginal cost) It uses mathematical symbols instead of words, equations rather than sentences and theorems in place of literary arguments,Mathematical Economics vs. Econometrics,Mathematical economics refers to the application of mathematics to the purely theoretical aspects of economic analysis, with little concern about statistical issues (example: how to calculate the elasticity of a linear demand function) Econometrics is mainly concerned with the statistical analysis of economic data, estimating relations and testing hypothesis (example: how to estimate the coefficients of a linear demand function, and to test if it has a negative price slope),数理经济学的起源,1883年法国经济学家A.A.Cournot(18011877）出版财富理论数学原理的研究奠定了数理经济学的基础。 但古诺的数理经济学的思想直到19世纪70年代“边际革命”出现后才得到应有的重视。,第一章 集合与向量,本章主要内容：首先给出集合概念 集合间的关系以及基本标记方法。集合论不但是数学的基础理论，也是研究经济理论的重要工具。其次将说明向量空间的概念 ，并对凸集合和凸凹函数的定义。, 1.1 集合定义,Definition A set is a collection of objects such that, for each object under consideration, the object is either in the set or not in the set, and each object appears at most once in a given set. 其中的object被称为集合中的元素（element）,集合的通用表示形式为：是, 1.1 集合定义,集合和元素的关系是隶属关系，记为：x X 或 x X “没有任何元素的集合”称为空集（ empty set）,记为 ，因此 = 集合之间的关系是包含和相等关系a A,都有 a B，那么 A B,或者B A此时称 A为B的“子集”如果A B,同时B A，则记为AB, 1.1 集合举例, 1.1 集合运算, 1.1 集合运算, 1.1 集合运算举例, 1.1 集合运算律,定理(Theorem) 1.1.1, 1.1 集合证明分配律, 1.1 集合De.Morgan法则,指标集合（index set）设 表示指标集合， ，有 对应的集合定义它们的交集和并集, 1.1 集合De.Morgan法则证明, 1.1 集合实数集合的上界和下界,集合 是有界数集 集合 是无界数集, 1.1 集合实数集合的上确界和下确界,如 则 公理1.1.1, 1.1 集合映射 函数 关系,设有两个集合X和Y，在某种法则下将集合X的各点与集合Y中的点对应起来，则称这种对应是从集合X到集合Y的“映射”（mapping）.记为 f :XY 点对点（）相对应的映射称为函数（function）点对集合取值的映射称为关系（relation），记为R, 1.1 集合函数 关系一例,古典经济学家遵循萨伊定律，认为价格和 工资有完全的灵活性，而总供给量却是不 变的。无论价格怎样变化，只是引起名义 国民收入的变化，实际国民收入或总产量 是不变的。因此，总供给曲线是一条垂线。,Q,0,AS,Q*,P,（1）.古典经济学,（2）.凯恩斯本人,凯恩斯认为，由于存在着工会，工资失去了完全的灵活性，工人受到名义工资的蒙蔽（即受到货币变量的蒙蔽），不愿意接受低工资，因此使得物价水平也具有刚性。形成了直角形的总供给曲线。,P,Q,0,AS,Q*,（3）.新古典综合派,新古典综合派接受了凯恩斯的观点，只是略做修改。总供给曲线就在充分就业点形成了一个肘弯。,0,P,Q,0,AS,Q*, 1.1 集合函数图形说明, 1.2 向量空间- n维向量（vector）,由个实数组成的有序元素组称为n维向量，表示如下：上面的向量是列向量，实际是n行1列的矩阵 将行向量的元素横向排列便得到转置（transpose）向量特殊向量零向量0 所有n维向量组成的集合称为n维向量空间，记为 特殊向量空间：R为实数集合； 为二维平面； 为三维空间, 1.2 向量空间几何表示, 1.2 向量空间向量运算,定义四种运算, 1.2 向量空间定理1.2.1,Theorem 1.2.1 Let n N, let , R, and let x,y,z . (i) x+y = y +x, (ii) (x+y)+z = x+(y +z), (iii) (x) = ()x, (iv) (+)x = x+x, (v) (x+y) = x+y. The proof of this theorem is left as an exercise.,集合的加减运算,对于2个n维向量空间的子集合 实数 ，则对集合的加减运算如下定义：并将集合XY称为“向量（集合）的和” XY称为“向量（集合）的差”, 1.2 向量空间向量关系,设x,y 对于所有的i，都有，则称两向量相等，记为x=y，则称向量x大于等于 y ，记为x y，则称向量x大于 y ，记为x y 根据上述向量关系，定义空间 的两个子集前者是“非负象限”，后者是“正象限”, 1.2 向量空间-向量关系:区间和锥（略）, 1.2 向量空间-凸集合,严格凸集合,凸集合,非凸集合, 1.2 向量空间定理1.2.2,对于2个子集合X,Y ,实数 ，则定义定理1.2.2：对于2个子集合X,Y ,实数 如果X，Y为凸集合，则X+Y,XY,aX都是凸集合, 1.2 向量空间凸函数 凹函数, 1.2 向量空间凸函数 凹函数图示,（严格）凸函数,（严格）凹函数, 1.2 向量空间凸函数 凹函数图示, 1.2 向量空间拟凸函数 拟凹函数,如果不等式严格成立，则分别称为严格拟凹函数和严格拟凸函数, 1.2 向量空间拟凹函数图例, 1.2 向量空间拟凹函数和凹函数关系, 1.2 向量空间拟凹函数和凹函数关系, 1.2 向量空间拟凸函数和凸函数关系, 1.2 向量空间拟凹函数举例, 1.2 向量空间拟凹函数举例,