1直线与平面平行的判定定理一条直线与 的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为 .,平面外,a，b，且aba,此平面内,(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件：平面外一条直线；平面内一条直线；两条直线相互平行 (2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想 (3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.,2平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条 与另一个平面 ，则这两个平面平行用符号表示为：.,相交直线,平行,a，b，abP，a，b,(1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立 (2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面 (3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线面垂直的性质定理、定义 (4)平面与平面的平行也具有传递性.,3直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个 ，则过这条直线的任一平面与此平面的 与该 用图形表示为：用符号表示为： ab.,平面平行,交线,直线平行,a，a，b,(1)线面平行的性质定理是证线线平行的一个途径 (2)证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等.,4平面与平面平行的性质定理 如果两个 同时和第三个平面相交，那么它们的 平行 用图形表示为：用符号表示为：ab.,平行平面,交线,，a，b,由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线.,1直线a，则 ( ) A平面内有且只有一条直线与直线a平行 B平面内有无数条直线与直线a平行 C平面内不存在与直线a垂直的直线 D平面内有且只有一条直线与直线a垂直,解析：如右图，在正方体中，直线BC平面AC，但是平面AC内的直线BC和AD均平行于直线BC，所以A错；直线ABBC，直线CDBC，即平面AC内有两条直线垂直于BC，所以C和D错，应选B. 答案：B,2六棱柱的表面中，互相平行的面最多有几对？ ( ) A2 B3 C4 D5 解析：当六棱柱的底面是正六边形时，互相平行的面最多，侧面中有3对互相平行，两底面互相平行，则此时有4对 答案：C,3已知直线a，b，c及平面，下列条件中，能使ab成立的是 ( ) Aa，b Ba，b Cac，bc Da，b 解析：a，b，则ab或a，b异面，A错；a，b，则ab或a，b异面或a，b相交，B错；a，b，则ab或a，b异面，D错；事实上，ac，bc，则ab，这是公理4，所以C正确 答案：C,4(2009福建厦门模拟)设l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题： 若ln且mn，则lm； 若l且m，则lm； 若n且n，则； 若且，则； 其中正确命题的序号是_(把正确命题的序号都填上),解析：根据平行的传递性，显然正确；如右图所示，长方体ABCDABCD中，直线AD平面AC，直线AB平面AC，但是直线AD与直线AB相交，所以错；直线AB平面AC，直线AB平面CD，但是平面AC平面CD于直线CD，所以错 答案：,5如右图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点 求证：MN平面AA1C1.,证明：设A1C1中点为F，连接NF，FC， N为A1B1中点， NFB1C1，且NF B1C1， 又由棱柱性质知B1C1綊BC， 又M是BC的中点， NF綊MC，四边形NFCM为平行四边形 MNCF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1， MN平面AA1C1.,【例1】 如右图所示，已知P、Q是单位正方体ABCDA1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心 求证：PQ平面BCC1B1.,四边形PEFQ是平行四边形 PQEF. 又PQ平面BCC1B1，EF平面BCC1B1， PQ平面BCC1B1. 证法二：如右图，连结AB1，B1C， AB1C中，P、Q分别是AB1 和AC的中点，PQB1C. 又PQ平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1， PQ平面BCC1B1.,证明线面平行，直接应用线面平行的判定定理即可，找出所需条件，图中有则就地取材，没有则选取中点，以作平行线的方式添加辅助线解决.,变式迁移 1 如右图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，E为PC中点 求证：PA面EDB.,证明：连结AC交BD于O，连结EO. ABCD为正方形， O为AC中点 E为PC中点， OE为PAC的中位线， 故EOPA. 故EO面EDB且PA面EDB， 故PA面EDB.,【例2】 如右图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD平面PBCl. (1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论 (2)判断MN与平面PAD的位置关系并证明你的结论,解：(1)BCl. 证明：四边形ABCD为平行四边形，BCAD. 又BC平面PAD，AD平面PAD，BC平面PAD. 又BC平面PBC，平面PBC平面PADl.BCl.,(2)MN平面PAD. 证明：取CD的中点E，连结ME、NE. M、N分别为AB、PC的中点， MEAD，NEPD. 又ME平面PAD，NE平面PAD， ME平面PAD，NE平面PAD， 又MENEE， 平面MNE平面PAD. 而MN平面MNE.MN平面PAD.,从本题中我们可以看出，解关于线面平行问题的关键是：要在平面内找一直线与已知直线平行，将问题转化为同一平面内的问题来解决.,变式迁移 2 如下图，三棱锥ABCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD平面EFGH.,证明：四边形EFGH为平行四边形，EFGH. 又GH平面BCD，EF平面BCD， EF平面BCD. 而平面ACD平面BCDCD，EF平面ACD， EFCD.而EF平面EFGH，CD平面EFGH，CD平面EFGH.,【例3】 如右图所示，正三棱柱ABCA1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点， 求证：平面A1EF平面BCGH.,思路分析：本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明 证明：ABC中，E、F分别为AB、AC的中点， EFBC. 又EF平面BCGH，BC平面BCGH， EF平面BCGH. 又G、F分别为A1C1，AC的中点， A1G綊FC.,四边形A1FCG为平行四边形 A1FGC. 又A1F平面BCGH，CG平面BCGH， A1F平面BCGH. 又A1FEFF， 平面A1EF平面BCGH.,变式迁移 3 正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1A和C1C的中点，求证：面EB1D1面FDB. 证明：如下图，取D1D中点M，连结C1M、EM,由于EM綊B1C1，所以四边形EB1C1M为平行四边形 EB1MC1，又MC1DF， EB1DF 又DF面DBF，EB1面DBF， EB1面DBF.同理ED1面DBF. 又EB1ED1E，面EB1D1面DBF.,【例4】 如下图，已知平面平面平面，且位于与之间，点A、D，C、F，ACB，DFE.,已知两平面平行，往往要考虑两平行平面被第三个平面所截，得两交线也平行，从而通过两平行线去研究比值问题；求三角形面积的最值是抓住关键部分yx(1x)进行解剖，转化为求函数最值问题，从而使问题得以解决.,变式迁移 4 平面平面，ABC在平面内，AA、BB、CC三线交于一点P，且P在平面和平面之间，若BC5 cm，AC12 cm，AB13 cm，PAPA32，求ABC的面积,1解决有关平行问题时，应注意以下结论的应用 (1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行 (2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 (3)已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面,(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交 (5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面 (6)平行于同一个平面的两个平面平行 (7)平行于同一条直线的两条直线平行,对线面平行、面面平行的认识一般按照“定义判定定理性质定理应用”的顺序，其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行或面面平行的方法，又可以作为线面平行或面面平行的性质来应用.,2线线平行、线面平行、面面平行的转化 两平面平行问题常常转化为直线与平面平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以注意转化思想的应用，以下为三种平行关系相互转化的示意图,(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化” (2)注意利用由数量关系到平行关系的转化，如利用中位线转化为线线平行.,