第二节 集合的运算,一 集合的交,二 集合的并,三 集合的补,四 集合的对称差,五 集合恒等式,六 小结,一、集合的交,1、定义2、文氏图,任意两个集合A和B，,由A和B的,所有共同元素,组成的集合，,称为A和B的,交集，,记为,AB。,AB= x | xA xB,即,(Intersection),AB,一、集合的交,如果两个集合没有任何共同的元素，,(Intersection),例如，A=a,b,c,e,f ，B=b,e,f, r, s，C=a,t,u,v,则,AB=,b,e,f ,AC=,a,BC=,则称它们是,不相交,集合。,E,A,B,一、集合的交,三个或更多的集合的交集运算：,(Intersection),ABC =,x |,xA, xB, xC,一、集合的交,3、性质 1）幂等律,AA,1)幂等律,(Intersection),=A,A,2)零律,=,AE,3)同一律,=A,AB,4)交换律,=BA,A(BC),5)结合律,=(AB)C,( ),B,一、集合的交,3、性质 6)若AB，,(Intersection),若AB，,6),则AC,BC。,反之,不然。,证：,AB,(x),x,A,x,分析：,若xAC，,即,xA,xC,AB, xA,xB,则,xB,xC,xBC。,反之，,取C= ，,A=a，,B=b，,则,AC,=,BC,=,证毕,一、集合的交,3、性质 7) AB A, AB B,(Intersection),AB,7),A,AB,B,（集合越交,越小）,注：,集合运算的规律和命题演算的某些规律是一致的，所以命题演算的方法是证明集合恒等式的基本方法。,二、集合的并,1、定义2、文氏图,任意两个集合A和B，,由属于A,或属于B,组成的集合，,称为A和B的,并集，,记为,AB。,AB=x | xA xB,即,(Union),的元素,二、集合的并,三个或更多的集合的并集运算：,(Union),E,A,B,ABC =,x |,xA,C, xB, xC,二、集合的并,3、性质 1）幂等律,AA,1)幂等律,(Union),=A,AE,2)零律,=E,A,3)同一律,=A,AB,4)交换律,=BA,A(BC),5)结合律,=(AB)C,二、集合的并,3、性质 6)若AB，,(Union),若AB，,6),则AC,BD。,反之,不然。,若xAC，,即,xA,xC,CD，,1)若xA，,则xB，,xBD，,2)若xC，,则xD，,xBD，,始终有xBD。,反之，,取C=D=E，,A=a，,B=b，,则,AC,E=,BD,=E,证：,证毕。,二、集合的并,3、性质 7) AB A, AB B,(Union),AB，,7),A,（集合越并,越大）,AB,B,xB,( ) ,xB,xA,( ),( ),二、集合的并,4、和的关系 分配律,(Union),定理,对任意集合A、B和C有:,1) A(BC)=(AB)(AC) ;,2) A(BC)=(AB)(AC)。,即对可以分配,对可以分配。,1) A(BC),= x |,xA,xC,= x |,xA,xC,=(AB),(AC),= x |,xA,xB,xA,xC, x |,分配律,分配律,证：,xB,( ),xA,二、集合的并,4、和的关系吸收律,(Union),定理,对任意集合A、B有:,1) A(AB)=A,2) A(AB)=A,证一：,1) A(AB),= x |,xA,= x |,xA,=A,吸收律,吸收律,命题逻辑中的吸收律,二、集合的并,4、和的关系吸收律,(Union),定理,对任意集合A、B有:,1) A(AB)=A,2) A(AB)=A,证二：,1),吸收律,吸收律,A,AB,A，,A,A(AB),A,而,A,A(AB),A(AB)=A,二、集合的并,4、和的关系吸收律,(Union),定理,对任意集合A、B有:,AB,AB=B,或,AB=A。,当且仅当,AB，,BB，,AB,BB,=B,由性质7),B,AB,AB,=B,反之，,由性质7),A,AB,AB=B,AB,证：,证毕。,三、集合的补,1、定义2、文氏图,任意两个集合A和B，,由属于A,但不属于B,组成的集合，,称为B 对于A的,补集,记为,AB。,AB=x | xA xB,即,(Relative Complement),所有元素,或相对,的,补,或A和B的差。,=x | xA ( xB),三、集合的补,3、绝对补集文氏图,全集E 和集合A的差集,称为A的,绝对补,记为,E A,A =,即,(Relative Complement),或A的余集,或A的补集。,=x | xE xA,A,或A,E A,xA,xA,(Absolute Complement).,三、集合的补,4、性质 1）双重否定律,(Relative Complement),(A),1)双重否定律,=A,E,2),=,3),=E,AA,4)排中律,=E,AA,5)矛盾律,=,三、集合的补,4、性质 6）德摩根律证：(1),(Relative Complement),(1)(AB),6)德摩根律,= AB,(2)(AB),= AB,(AB),=x | xE, (xAB ),=x | xE, (xA,=x | xE, (xA), ( xB ),=x | (xE, (xA), ( xB ),(xE,= A,B,xB ),证: (1),( ),三、集合的补,4、性质 6）德摩根律证：(2),(Relative Complement),(1)(AB),6)德摩根律,= AB,(2)(AB),= AB,证：(2),(AB),=x | xE, (xAB ),=x | xE, (xA,=x | xE, (xA), ( xB ),=x | (xE, (xA), ( xB ),(xE,= A,B,xB ),( ),( ),xA,( ),=x | xA,xA,( ),三、集合的补,5、定理 1) A-B= AB 2)A-B= A-(AB),(Relative Complement),1) A-B,= AB,2) A-B,= A-(AB),证：1),显然成立。,=x | xA,xB,A-B,2)证法一：,xB,xA,F,=x | xA,xB,xA,=x | xA,xB,= A,(AB),-, A,( ), B,( ),三、集合的补,5、定理 1) A-B= AB 2)A-B= A-(AB) 2)证法二：,(Relative Complement),2)证法二：,利用(3)的结论。,A-(AB),= A,(A B),= A, A,(3)的结论,德摩根律,= A,A, B,( ),= A-B,1) A-B,= AB,2) A-B,= A-(AB),分配律,xA),三、集合的补,5、定理 3) A(B-C)=(AB)-(AC),(Relative Complement),证：,4) A(B - C)=(AB) - (AC),(AB) - (AC),=x |,xB),(xA,(xA,xC),=x |,xB),(xA,(xA),(xC) ,=x |,xB,(xA,xC),xB,(xA,=x |,F,xC),xB,(xA,=x |,xC,xB,xA,= (B - C),A,=,A,B,- C,( ),=x |,xB),(xA,(xA,xC),( ),三、集合的补,5、定理 4)AB， A 与B的关系 a)AB B A,(Relative Complement),4) a)AB B A,b)AB (B-A)A =B,证：a) ,若xA,则必有xB，,因此 xB，,必有xA，,即 xB,xA, B A,AB,由上述证明可知：,(A), B A,(B),A=,=B,AB B A,三、集合的补,5、定理 4)AB， A 与B的关系 b)AB (B-A)A =B,(Relative Complement),4) a)AB B A,b)AB (B-A)A =B,证：b),(B-A)A,=(B, A),A,差的定义,=(B,A),( A,A),分配律,=(BA),E,=BA,BA,=B,由定理(P16)知，,AB BA=B,AB (B-A)A =B,四、集合的对称差,1、定义,(Symmetric Difference),设A、B 是两个集合，,其元素,但,集合 A 和 B 的对称差是,集合，,记作AB,或属于 A，,或属于B,不能既属于A,又属于 B，,即：,A B = (A - B)(B - A),=x | xA xB,例如 A = a, b, c , B = b, d ,则AB,=,a,c,d ,=x|(xAxB)(xBxA),四、集合的对称差,2、 文氏图,(Symmetric Difference),对称差的另一种定义:,AB =,(AB),- (AB),1)与逻辑中的“异或”相类似。,注：,2),AB,=(AB),(AB),四、集合的对称差,3、 性质 1)交换律 2)同一律 3)零律 4),(Symmetric Difference),1)交换律,2)同一律,3)零律,AB=,4),AB,= BA,A,