第二讲 数列的通项与求和,【考情快报】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：(1)以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.(2)通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题.,【核心自查】 一、主干构建,二、重要公式 1.“基本数列”的通项公式 (1)数列-1,1,-1,1，的通项公式是an= _. (2)数列1,2,3,4,的通项公式是an=_. (3)数列3,5,7,9,的通项公式是an=_. (4)数列2,4,6,8,的通项公式是an=_.,(-1)n,n,2n+1,2n,(5)数列1,2,4,8,的通项公式是an=_. (6)数列1,4,9,16,的通项公式是an=_. (7)数列1,3,6,10,的通项公式是an=_. (8)数列 的通项公式是an=_.,2n-1,n2,2.常用的拆项公式 (1) _； (2) ； (3) _； (4) 若等差数列an的公差为d,则,(5) (6) (7) 提醒：实际应用中，注意验证所拆项是否正确.,热点考向 一 求数列的通项公式 【典例】1.(2012长春模拟)已知数列an满足a1=36,an+1- an=2n,则 的最小值为_. 2.(2012临沂模拟)已知数列an满足a1=2, (n2)，则数列an的通项公式为an=_. 3.(2012合肥模拟)已知数列an与bn的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,b1=2,且对任意nN*，都有 成 立，求数列an，bn的通项公式.,【解题指导】1.利用累加法先求an再求解. 2.由递推关系，构造新等差数列 求解. 3.先由和与项的递推关系，利用an=S1,(n=1)Sn-Sn-1,(n2),转化为项与项的递推关系再求通项公式.,【解析】1.由an+1-an=2n,得 a2-a1=2, a3-a2=4, a4-a3=6, an-an-1=2(n-1). 将以上n-1个式子累加得,又a1=36,an=n2-n+36, 当n=6时， 有最小值11. 答案：11,2. 即 数列 构成以 为首项， 为公差的等差数列， an=2. 答案：2,3.(1)由 知Sn=n2an, Sn-1=(n-1)2an-1(n2), 两式相减得an=n2an-(n-1)2an-1, 即(n2-1)an=(n-1)2an-1, 又a1=1也适合上式，因此,(2)由Tn=2bn-2,Tn-1=2bn-1-2(n2), 两式相减得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1, 数列bn构成以b1=2为首项，2为公比的等比数列，bn=2n.,【互动探究】题3在题设不变的情况下，令(nN*),试证明,【证明】由题3知,f(n)0, f(1)+f(2)+f(3)+f(n)f(1)= 又f(1)+f(2)+f(n)=,【拓展提升】 求数列通项公式的常见类型及方法 (1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采 用归纳猜想法. (2)已知Sn与an的关系，利用 求an. (3)累加法：数列递推关系形如an+1=an+f(n)，其中数列f(n) 前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠 加法).,(4)累乘法：数列递推关系如an+1=g(n)an，其中数列g(n)前n 项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法). (5)构造法：递推关系形如： an+1=pan+q(p,q为常数),可化为 的形式，利用 是以p为公比的等比数列求解； 递推关系形如 可化为的形式. 提醒：注意对n分类讨论.,热点考向 二 数列求和 【典例】(12分)(2012惠州模拟)已知数列an满足：a1=1,a2= ,且 3+(-1)n an+2-2an+2(-1)n-1=0,nN*. (1)求a3,a4,a5,a6的值及数列an的通项公式； (2)设bn=a2n-1a2n-(-1)nlna2n，求S2n.,【解题指导】(1)令n=1,2,3,4代入递推关系式求得a3,a4,a5,a6的值，并据此分n为奇数、偶数探究数列an的递推关系，从而求得an. (2)在(1)的基础上求得bn的通项公式，根据其结构特征选择求和方法求和.,【规范解答】(1)经计算a3=3,a4= ,a5=5,a6= 当n为奇数时，an+2=an+2，即数列an的奇数项成等差数列， a2n-1=a1+(n-1)2=2n-1；2分 当n为偶数，an+2= an,即数列an的偶数项成等比数列，因此，数列an的通项公式为 4分,(2)并设数列cn,dn的前n项和分别为Tn,Tn.,6分,，两式相减，得,T2n=-1+2-3+4-+2nln2=nln2，11分 S2n=T2n+T2n=3-(4n+3)( )2n+nln2.12分,【互动探究】在本题的条件下，若数列bn满足 求其前n项和Sn. 【解析】因为,【拓展提升】数列求和的常见类型及方法 (1)通项公式形如an=kn+b或an=pqkn+b(其中k,b,p，q为常 数)，用公式法求和. (2)通项公式形如 (其中k1,b1,k2,b2,q为常 数)，用错位相减法. (3)通项公式形如 (其中a,b1,b2,c为常数)用 裂项相消法.,(4)通项公式形如an=(-1)nn或an=a(-1)n(其中a为常数，nN*)等正负交叉项的求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论. (5)若数列的通项公式为以上四种中的某几个构成的，则可用分组法(拆项法)求和. 提醒：(1)运用公式法求和时注意公式成立的条件. (2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n+1项中的前n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零.,【思想诠释】数列求和中的转化与化归思想 (1)本题中的转化与化归主要是： 将通项公式an的求解转化为等差、等比数列通项公式的求解. 求Sn转化为求cn与dn的前n项和，再转化为求(2)数列求和中应用转化与化归思想的常见类型： 错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解. 并项求和时，将问题转化为等差数列求和. 分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解.,1.(角度新)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225， (1)求数列an的通项an； (2)设 求数列bn的前n项和Tn. 【解析】(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意， 得 解得 an=2n-1.,(2)当n为偶数时， 当n为奇数时，,2.(角度新)已知数列2n-1an的前n项和 (1)求数列an的通项公式； (2),【解析】,(2)设 的前n项和为Tn，,3.(交汇新)已知数列an的前n项和为Sn，对一切正整数n，点 Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，记an与an+1的等差中项 为kn. (1)求数列an的通项公式； (2) (3)设集合A=x|x=kn,nN*,B=x|x=2an,nN*，等差数列 cn的任意一项cnAB,其中c1是AB中的最小数，且110 c10115，求cn的通项公式.,【解析】(1)点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，Sn=n2+2n(nN*), 当n2时，an=Sn-Sn-1=2n+1. 当n=1时，an=S1=3满足上式， 所以数列an的通项公式为an=2n+1. (2)kn为an与an+1的等差中项，,Tn=4341+4542+4743+4(2n+1)4n 由4,得 4Tn=4342+4543+4744+4(2n+1)4n+1 -得： -3Tn=434+2(42+43+4n)-(2n+1)4n+1,(3)A=x|x=kn,nN*,B=x|x=2an,nN*, AB=B, cnAB,c1是AB中的最小数， c1=6. cn是公差为4的倍数的等差数列， c10=36m+6(mN*). 又110c10115,解得m=3.所以c10=114, 设等差数列的公差为d,则,