5.2 方阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量求法 三、特征值与特征向量的性质 四、小结,引例发展与环保问题,x0该地区的污染损耗；y0该地区的工业产值；,一个发展周期后，相应的x1，y1满足,即,若当前的水平,即,说明,一、特征值与特征向量的概念,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,二、特征值与特征向量的求法,解,例1,例,解,解,得基础解系为：,例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于的特征向量，则,证明,此即为P128.Th2.的结论！,三、特征值和特征向量的性质,证明,则,即,类推之，有,把上列各式合写成矩阵形式，得,注意,、属于不同特征值的特征向量是线性无关的；,、属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,、矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值,例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为,解,应用（工业发展和污染的增长模型）,利用特征值和特征向量性质可简化计算,计算 的特征值和特征向量，得,若当前的水平为,若当前的水平为,此计算结果可预测此地区的工业发展趋势！,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,四、小结,课后习题,课外作业,P123 习题5-1 2(2) 4 P130 习题5-2 2(3) 4,