2009NOIP试题解析,潜伏者,R国和S国正陷入战火之中，双方都互派间谍，潜入对方内部，伺机行动。伏于S国的R国间谍小C终于摸清了S国军用密码的编码规则：1、S国军方内部欲发送的原信息经过加密后在网络上发送，原信息的内容与加密后所的内容均由大写字母AZ构成（无空格等其他字母）。2、S国对于每个字母规定了对应的“密字”。加密的过程就是将原信息中的所有字母替换为其对应的“密字”。3、每个字母只对应一个唯一的“密字”，不同的字母对应不同的“密字”。“密字”可以和原字母相同。如，若规定A的密字为A，B的密字为C（其他字母及密字略），则原信息“ABA”被加密为“ACA”。现在，小C通过内线掌握了S国网络上发送的一条加密信息及其对应的原信息。小C希望能通过这条信息，破译S国的军用密码。小C的破译过程是这样的：扫描原信息，对于原信息中的字母x（代表任一大写字母），找到其在加密信息中的对应大写字母y，并认为在密码里y是x的密字。如此进行下去直到停止于如下的某个状态：1、所有信息扫描完毕，AZ所有26个字母在原信息中均出现过并获得了相应的“密字”。2、所有信息扫描完毕，但发现存在某个（或某些）字母在原信息中没有出现。3、扫描中发现掌握的信息里有明显的自相矛盾或错误（违反S过密码的编码规则）。例如某条信息“XYZ”被翻译为“ABA”就违反了“不同字母对应不同密字”的规则。在小C忙得头昏脑胀之际，R国司令部又发来电报，要求他翻译另外一条从S国刚刚截取到的加密信息。现在请你帮助小C：通过内线掌握的信息，尝试破译密码。然后利用破译的密码，翻译电报中的加密信息。,思路点拨,简单的模拟题，考察基本编程和全面细致考虑问题的能力。由“每个字母只对应一个唯一的“密字”，不同的字母对应不同的“密字”，“密字”可以和原字母相同”的条件，可以得出“密字”和原26个字母是构成一个一一对应的关系的。设加密信息为s1、原信息为s2、要求翻译的加密信息为s3；密信息与原信息的对应关系为c和c2，其中cX表示s1串中字母X对应s2串中的字母，c2X表示s2串中字母X对应s1串中的字母。左到右扫描到字串第i位时，s1i和s2i要么都还没配对，要么已经相互配对了（即cs1i=s2i,c2s2i=s1i）。如果两个条件都不符合，则输出Failed并结束程序。若扫描完毕未出现Failed的情况，则判断c数组是否每个字母都有其对应的字母。,var c,c2:arraycharof char; /* 加密信息与原信息的对应关系*/s1,s2,s3:string; /*加密信息、原信息和要求翻译的加密信息*/ ch:char;i:longint; readln(s1); readln(s2); readln(s3); /*输入加密信息、原信息和要求翻译的加密信息*/for chA to Z do cch; c2ch ; /*加密信息与原信息的对应关系为空*/for i1 to length(s1) do /*从左到右扫描*/ if(cs1i=)and(c2s2i=) then cs1is2i;c2s2is1i;continue ; /*若s1i和s2i未配对，则建立对应关系，往右扫描*/if (cs1i=s2i)and(c2s2i=s1i) then continue else writeln(Failed); exit /*若s1i和s2i配对，则往右扫描；否则失败退出*/ ;/*for*/ for chA to Z do if cch= then writeln(Failed);exit ; /*若存在未解码的密字，则失败退出*/ for i1 to length(s3) do write(cs3i); /*输出译文*/writeln; .,Hankson的趣味题,Hanks博士是BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson正在思考一个有趣的问题。 今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1和c2的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x满足：x和a0的最大公约数是a1；x和b0的最小公倍数是b1。 Hankson的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x的个数。请你帮助他编程求解这个问题。 输入:第一行为一个正整数n，表示有n组输入数据。接下来的n行每行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0能被a1整除，b1能被b0整除。 输出:共n行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。对于每组数据：若不存在这样的x，请输出0；若存在这样的x，请输出满足条件的x的个数；,数论知识a与b的最大公约数gcd(a，b) a与b的最小公倍数lcm(a，b)=a*b/(gcd(a,b) 按照题意 1、x和a0的最大公约数是a1，即gcd(x,a0)=a12、x和b0的最小公倍数是b1，即lcm(x,b0)=b1 变换上述两个条件设x=p*a1，gcd(x,a0)=a1gcd(p,a0/a1)=1设nx=b1/b0*b0=b1，lcm(x,b0)=b1gcd(n,b1/b0)=1 由n*x=n*p*a1=b1可得到n*p=b1/a1，因此令aa=a0/a1，bb=b1/b0，tt=n*p=b1/a1。由于已知tt的值（n*p=b1/a1）和gcd(p，aa)=1，gcd(n，bb)=1，于是求x有多少个解等价于p有多少种不同取值。不难想到，可先将tt进行质因数分解，然后将因子“分配”到n和p中，在“分配”过程中，通过简单的乘法原理就可得到最后答案。,设tt=a1p1*a2p2*a3p3aLbL,对于每一个aipi，显然，如果ai|aa且ai|bb时，则无解。因为与gcd(p，aa)=1和gcd(n，bb)=1矛盾；如果ai|aa，则应把这pi个ai质因子全部分配到n中，否则与gcd(p,aa)=1矛盾。同理，当ai|bb时，应把这pi个ai质因子全部分配到p中。当ai既不能整除aa也不能整除bb时，说明可以随意分配pi个ai质因子。根据乘法原理，可以得到(pi+1)种分配方式，即对p分配0,1,2,3pi个ai质因子，此时我们将ans*(pi+1)。最后，当tt分解质因数完成时，ans即为满足条件的x的个数。为了节省分解质因数的时间，一开始可以建一个素数表，每次通过试除素数分解tt的质因数。,Varc,n,a0,a1,b0,b1:longint;l:array0100000of longint; /* 素数表*/ func pd(x:longint):boolean; /*使用筛除法判断x是否为素数*/ var i:longint; for i2 to trunc(sqrt(x) do if x mod i=0 then exit(false);exit(true);/* pd */proc prepare; /*构造250000的素数表I*/ var i:longint; l0 0;for i 2 to 50000 do if pd(i) then inc(l0); ll0 i ; ;/* prepare */,proc work; /*处理当前数据组*/ var aa,bb,tt,i,ans,x1,x2:longint; aa a0 div a1; bb b1 div b0; tt b1 div a1;if b1 mod a10 then writeln(0); exit ;/*then*/i 1; ans 1; /*素数表指针和答案初始化*/while (i0)and(x20) then ans ans*(c+1) /*then*/else inc(i); /*tt无法分解出素数li，搜索下一个素数*/;/*while*/,if tt1 /*在tt本身为大于50000的素数的情况下，若aa和bb能整除tt，则无解退出；若aa和bb都不能整除tt，则答案增加2倍*/ then x1 aa mod tt; x2 bb mod tt;if (x1=0)and(x2=0) then writeln(0); exit ;if (x10)and(x20) then ans ans*2 ;/*then*/writeln(ans); ;/* work */ prepare; /*构造250000的素数表I*/readln(n); /*读数据组数*/for i 1to n do /*输入和处理每组数据*/ readln(a0,a1,b0,b1);work .,最优贸易,C国有n个大城市和m条道路，每条道路连接这n个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这m条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1条。C国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。商人阿龙来到C国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设C国n个城市的标号从1-n，阿龙决定从1号城市出发，并最终在n号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有n个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市迈入他最喜欢的商品水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球。用赚取的差价当作旅费。由于阿龙主要是来C国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次。当然，在赚不到差价的情况下它就无需进行贸易。,假设C国有5个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行。双向箭头表示这条道路为双向通行。假设1n号城市的水晶球价格分别为4，3，5，6，1。 阿龙可以选择如下一条线路：1-2-3-5，并在2号城市以3的价格买入水晶球，在3号城市以5的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为2。 阿龙也可以选择如下一条线路：1-4-5-4-5，并在第1次到达5号城市时以1的价格买入水晶球，在第2次到达4号城市时以6的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为5。 现在给出n个城市的水晶球价格，m条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚钱多少旅费。输入:第一行包含2个正整数n和m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。第二行n个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这n个城市的商品价格。接下来m行，每行有3个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1，表示这条道路是城市x到城市y之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市x和城市y之间的双向道路。 输出:共1行，包含1个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出0。,