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新昌县城关中学 陈芳英,两个相似直角三角形构成的 基本图形的应用与拓展,教学内容,教学内容是从八年级上册第二章特殊三角形的第50页第12题引入,归纳出两个相似直角三角形构成的基本图形,例举了这个基本图形在折叠、动态几何等问题中的应用,并将此基本图形进行了拓展。,教学目标 能运用相似三角形的判定方法判断两个直角三角形相似; 在理解基本图形的基础上,学会在折叠、测量等问题中应用基本图形并能进行拓展; 通过对基本图形的应用与拓展,培养学生独立思考的习惯,发展学生的探究意识,提高学生的总结、归纳能力、阅读理解能力和创新能力。 教学重点:会将基本图形在折叠、动态几何、几何实际问题等问题中加以应用 教学难点:在复杂的图形中分解出基本图形和基本图形的拓展,如图,ADBC,A=900, E是AB上一点,且AE=BC,1=2, (1)RtADE与RtBEC全等吗?请说明理由; (2)CDE是不是直角三角形?请说明理由.,引例,教材八年级上册第50页第12题,基本图形,基本图形的应用,一、在折叠问题中的应用,例1如图,折叠矩形ABCD的一边CD,使点D落在AB边的点E处,CF为折痕。已知 ,且tanFEA=3/4 (1) BCE与AEF有什么关系? (2) 求矩形ABCD的周长。,例2(08宁波)如图1,把一张标准纸一次又一次对开,得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸已知标准纸的短边长为a (1)如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠: 第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠,点B落在AD上的点B处,铺平后得折痕AE;第二步 将长边AD与折痕AE对齐折叠,点B正好与点E重合,铺平后得折痕AF则AD:AB的值是 ,AD,AB的长分别是 , (2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等,直接写出这个比值;若不相等,请分别计算它们的比值 (3)如图3,由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案,它的四个顶点E,F,G,H分别在“16开”纸的边AB,BC,CD,DA上,求DG的长 (4)已知梯形MNPQ中,MNPQ ,M=900 ,MN=MQ=2PQ ,且四个顶点M,N,P,Q都在“4开”纸的边上,请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积,(3)如图3,由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案,它的四个顶点E,F,G,H分别在“16开”纸的边AB,BC,CD,DA上,求DG的长 (4)已知梯形MNPQ中,MNPQ ,M=900 ,MN=MQ=2PQ ,且四个顶点M,N,P,Q都在“4开”纸的边上,请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积,a/4,2a/4,DG:CF=HG:FG,二、在几何作图中的应用,例2如图,在笔直的公路l的同侧有A,B两个村庄,已知A,B两村分别到公路的距离AC=3千米,BD=4千米。 (1) 现要在公路上建一个汽车站P,使该车站到A,B两村的距离相等,试用直尺和圆规在图中作出点P(不写作法,保留作图痕迹); (2) 若连接AP,BP,测得APB=900,求A村到车站P的距离。,P,三、基本图形在动态问题中的应用,例3(06武汉)已知:将一副三角板(RtABC和RtDEF)如图1摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点。将RtDEF绕点D顺时针方向旋转角(00900),在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC相交于点N,分别过点M、N作直线AB的垂线,垂足为G、H。,(1)当=300时(如图2),求证:AG=DH; (2)当=600时(如图3),(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并说明理由; (3)当00900时,(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并根据图4说明理由.,四、基本图形的逆向应用,例4(04南京)如图,ABBC,DCBC,垂足分别为B、C. (1)当AB=4,DC=1,BC=4时,在线段BC上是否存在点P, 使APPD?如果存在,求出线段BP的长;如果不存在,请说明理由。 (2)设AB=a,DC=b,AD=c,那么当a、b、c之间满足什么关系时, 在直线BC上存在点P,使APPD?,P,基本图形的拓展,例1(08莆田)阅读理解:如图1,在直角梯形ABCD中,ABCD,B=900,点P在BC边上,当 APD=900时,易证ABPPCD,从而得到BPPC=ABCD.解答下列问题: (1)模型探究:如图2,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当B=C=APD时,求证:BPPC=ABCD. (2)拓展应用:如图3,在四边形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,B=C=600,AOBC于点O,以O为原点,以BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,点P为线段OC上一动点(不与端点O、C重合). 当APD=600时,点P的坐标; 过点P作PEPD,交y轴于点E,设OP=x,OE=y求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.,基本图形的拓展,阅读理解:如图1,在直角梯形ABCD中,ABCD,B=900,点P在BC边上,当 APD=900时,易证ABPPCD,从而得到BPPC=ABCD,(1)模型探究:如图2,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当B=C=APD时,求证:BPPC=ABCD.,(2)拓展应用:如图3,在四边形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,B=C=600,AOBC于点O,以O为原点,以BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,点P为线段OC上一动点(不与端点O、C重合). 当APD=600时,点P的坐标; 过点P作PEPD,交y轴于点E,设OP=x,OE=y求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.,例2(08金华)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知ABBD,CDBD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米, 那么该古城墙的高度是( ) A、6米 B、8米 C、18米 D、24米,变式1:,一只小鸟从高为3米的电线杆AB的顶端飞到地面 BD的中点P处觅食,再飞到一高为12米的建筑物CD顶端,求小鸟飞过的路长.,1.(08金华)如图,在平面直角坐标系中,已知AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到ABD.(1)求直线AB的解析式;(2)当点P运动到点( ,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;(3)是否存在点P,使OPD的面积等于 ,若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由,点击中考,2.(08义乌)如图1所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与 轴负半轴上.过点B、C作直线 将直线 平移,平移后的直线 与x轴交于点D,与 轴交于点E(1)将直线 向右平移,设平移距离CD为t (t 0),直角梯形OABC被直线 扫过的面积(图中阴影部份)为s,s关于t的函数图象如图2所示, OM为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,N点横坐标为4求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积;当2t4时,求S关于t的函数解析式;(2)在第(1)题的条件下,当直线 向左或向右平移时(包括 与直线BC重合),在直线AB上是否存在点P,使PDE为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由。,点击中考,小结,通过本节课的学习,你有哪些收获?(知识方面、能力方面、情感方面),1.完成本堂课中没有详细解答的例题; 2.如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,顶点D,C分别在AM,BN上运动(点D不与A重合,点C不与B重合),E是AB上的动点(点E不与A,B重合),在运动过程中始终保持DECE,且AD+DE=AB=a。 (1)求证:ADEBEC; (2)当点E为AB边的中点时(如图2), 求证:AD+BC=CD;DE,CE分别平分ADC,BCD; (3)设AE=m,请探究:BEC的周长是否与m值有关,若有关请用含m的代数式表示BEC的周长;若无关请说明理由。3.仿照本堂课请你寻找出一些基本图形。,作业,谢谢!,
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