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第2讲 复数的概念及运算,1.复数的有关概念(1)形如 abi(a,bR)的数叫做复数,其中 a,b 分别是复数的实部和虚部.若 b0,则 abi 为实数;若 b0,则 abi为虚数;若 a0,且 b0,则 abi 为纯虚数.,(3)abi 的共轭复数为 abi(a,bR).,(4)复数 zabi(a,bR)与复平面内的点 Z(a,b)一一对,应.,注意:任意两个复数全是实数时能比较大小,其他情况不,能比较大小.,2.复数的运算复数 z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则:z1z2(ac)(bd)i;z1z2(ac)(bd)i;z1z2(acbd)(bcad)i;,3.常用结论,1.(2017 年新课标) 下列各式的运算结果为纯虚数的是,(,),C,A.i(1i)2 B.i2(1i) C.(1i)2 D.i(1i),解析:由(1i)22i 为纯虚数.故选 C.2.(2016 年新课标)设(12i)(ai)的实部与虚部相等,其,中 a 为实数,则 a(,),A,A.3,B.2,C.2,D.3,解析:(12i)(ai)a2(12a)i,由已知,得 a212a.解得 a3.故选 A.,12i (12i)(i),i2,i,3.(2016 年新课标)设 x(1i)1yi,其中 x,y 为实数,,则|xyi|(,),B,解析:因为 x(1i)1yi,所以 xxi1yi.解得 x1,yx1.|xyi|1i| .故选 B.4.(2015 年新课标)已知复数 z 满足(z1)i1i,则 z,(,),C,A.2i,B.2i,C.2i,D.2i,解析:(z1)i1i,z,2i.故,选 C.,5.(2015 年新课标)设复数 z 满足,1z 1z,i,则|z|(,),1i (1i)(1i),解析:由,1z 1z,i,得 z,1i (1i)(1i),i.故|z|1.,故选 A.,A,考点 1,复数的概念,A.3,B.2,C.2,D.3,答案:3,(2)(2013 年新课标)若复数 z 满足(34i)z|43i|,则 z,的虚部为(,),A.4,B.,4 5,C.4,D.,4 5,答案:D,答案:A,(4)(2016 年天津)i 是虚数单位,复数 z 满足(1i)z2,则 z的实部为_.,解析:(1i)z2z,2 1i,1i,所以 z 的实部为 1.,答案:1【规律方法】(1)复数 abi(a,bR)的虚部是 b 而不是 bi;(2)复数 zabi(a,bR),当 b0 时,z 为虚数;当 b0 时,z 为实数;当 a0,b0 时,z 为纯虚数.,考点 2,复数的模及几何意义,例 2:(1)(2017 年新课标)复平面内表示复数 zi(2i),的点位于(,),A.第一象限C.第三象限,B.第二象限D.第四象限,解析:zi(2i)12i,点(1,2)位于第三象限.故选 C.答案:C,(2)(2016 年新课标)设复数 z 满足 zi3i,则 z (,),A.12i,B.12i,C.32i,D.32i,解析:由 zi3i,得 z32i.所以 z 32i.故选 C.答案:C,答案:D,(4)(2016 年新课标)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内,对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是(,),A.(3,1)C.(1,),B.(1,3)D.(,3),解析: 要使复数 z 对应的点在第四象限,则应满足,答案:A,(5)(2017 年广东惠州三模)若复数 z,13i1i,(i 为虚数单位),,则|z1|(,),答案:B,考点 3,复数的四则运算,例 3:(1)(2017 年山东)已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi,1i,则 z2(,),A.2i,B.2i,C.2,D.2,答案:A,(2)(2015 年新课标)若 a 为实数,且(2ai)(a2i)4i,,则 a(,),A.1,B.0,C.1,D.2,解析:由已知,得 4a(a24)i4i.所以 4a0.a244.解得 a0.故选 B.答案:B,1i,3i (3i)(1i),3i(,(3)(2017 年新课标)A.12iC.2i,)B.12iD.2i,解析:由复数除法的运算法则有:, 1i 2,2,i.故选 D.答案:D,(4)(2013 年新课标),12i (1i)2,(,),答案:B,(5)(2015 年福建)若(1i)(23i)abi(a,bR,i 是虚,数单位),则 a,b 的值分别等于(A.3,2C.3,3,)B.3,2D.1,4,解析:由已知,得 32iabi,所以 a3,b2.答案:A,(12i)(2i) 2i4i2,(6)(2016 年北京)复数,12i(2i,),A.i,B.1i,C.i,D.1i,解析:,12i2i,(2i)(2i) 5,i.,答案:A,易错、易混、易漏对复数概念理解不透彻致误,ai 12i,(a,例题:(1)(2017 年广东广州六校联考)若复数 zR,i 是虚数单位)是纯虚数,则|a2i|(),A.2C.4,B.D.8,答案:B,B. i,(2)复数,1 2i,的虚部是(,),A.,1 5,C.,1 5,1 D. i5,答案:A,1 5,【失误与防范】(1)两个复数不全为实数时不能比较大小,只有相等和不相等的关系(2)复数abi(a,bR)的虚部是b而不是bi.(3)对复数进行分类时要先将它整理成abi(a,bR)的形式,判定一个复数是纯虚数需a0,且b0;判定一个复数是实数,仅根据虚部为零是不够的,还要保证实部有意义才行,
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