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,4.3.3 三次函数的性质:单调区间和极值,学习目标 1理解函数最值的概念,了解函数最值与极值的区别和联系 2会用导数求在闭区间上三次的多项式函数的最大值、最小值,知识链接极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质,但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大,哪个值最小,函数的极值与最值有怎样的关系?,答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得必定是极值,所以在开区间(a,b)上若存在最值,则必是极值,预习导引 三次函数的导数零点与其单调区间和极值 设F(x)ax3bx2cxd(a0), F(x)3ax22bxc(a0) 填写下表: 当a0时,,(,u)(v,,),(u,v),递增,递增,递增,上递减,xu,在xv,无,无,当a0时,,(,u)(v,),(u,v),递减,递减,递减,递增,极小值,极大值,要点一 求三次函数的单调区间和极值点 例1 求下列函数的单调区间和极值点:(1)f(x)2x33x26x1;(2)f(x)2x39x212x7.,解 (1)f(x)6x26x66(x2x1), 由于f(x)恒正,f(x)在(,)上递增,无极值点 (2)f(x)6x218x126(x23x2) 6(x1)(x2), f(x)在(,1)和(2,)上均为负,在(1,2)上为正, f(x)在(,1)和(2,)上递减,在(1,2)上递增, f(x)在x1处取到极小值,在x2处取到极大值,规律方法 对此类题目,只要理解了f(x)的符号对函数f(x)取极值的影响,所有问题便迎刃而解,所以重要的是方法的领悟,要点二 求函数在闭区间上的最值 例2 求下列各函数的最值:(1)f(x)x42x23,x3,2;(2)f(x)x33x26x2,x1,1,解 (1)f(x)4x34x, 令f(x)4x(x1)(x1)0,得 x1,x0,x1. 当x变化时,f(x)及f(x)的变化情况如下表:,(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23, f(x)在1,1内恒大于0,f(x)在1,1上为增函数故x1时,f(x)最小值12; x1时,f(x)最大值2. 即f(x)的最小值为12,最大值为2.,规律方法 (1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得 求出导数为零的点 比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值 (2)若函数在闭区间a,b上连续且单调,则最大、最小值在端点处取得,(2)f(x)3exexx2, f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3) ex(x3)(x1), 在区间2,5上,f(x)ex(x3)(x1)0, 即函数f(x)在区间2,5上单调递减, x2时,函数f(x)取得最大值f(2)e2. x5时,函数f(x)取得最小值f(5)22e5.,要点三 函数最值的应用 例3 设函数f(x)tx22t2xt1(xR,t0)(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立,求实数m的取值范围,解 (1)f(x)t(xt)2t3t1 (xR,t0), 当xt时,f(x)取最小值f(t)t3t1, 即h(t)t3t1. (2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m, 由g(t)3t230得t1,t1(不合题意,舍去) 当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表:,对t(0,2),当t1时,g(t)max1m, h(t)1. 故实数m的取值范围是(1,),跟踪演练3 设函数f(x)2x39x212x8c, (1)若对任意的x0,3,都有f(x)c2成立,求c的取值范围; (2)若对任意的x(0,3),都有f(x)c2成立,求c的取值范围 解 (1)f(x)6x218x126(x1)(x2) 当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,2)时,f(x)0; 当x(2,3)时,f(x)0. 当x1时,f(x)取极大值f(1)58c. 又f(3)98cf(1),,x0,3时,f(x)的最大值为f(3)98c. 对任意的x0,3,有f(x)c2恒成立, 98cc2,即c1或c9. c的取值范围为(,1)(9,) (2)由(1)知f(x)f(3)98c,98cc2,即c1或c9, c的取值范围为(,19,).,再见,
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