1,余子式、代数余子式,行列式按行(列)展开,范德蒙(Vandermonde)行列式,行列式按行(列)展开,2,引例,一、余子式、代数余子式,3,在n阶行列式中，把元素,叫做元素,例如,定义6,的代数余子式,行列式的每个元素 分别对应一个余子式 和一个代数余子式.,第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做,所在的第i行和,的余子式，,记作,记,4,定理. n 阶行列式,等于它的任意一行 (列) 的各元素与其对应的 代数余子式乘积之和，即,二、行列式与代数余子式的关系,5,例1 计算行列式,解,6,7,例2 计算行列式,解,8,注意,直接利用定理未必简化计算，因为把一个n 阶行列式的计算化成n个(n-1)阶行列式的计算并不减少工作量，但是，当行列式中某一行(列)含有较多零时，定理便显出了优势。此外，该定理在理论推导上很有用。,9,练习 设 ，计算,10,元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积,之和等于零，即,或,推论. n 阶行列式 某一行(列)的,11,综合上述定理及推论，,得代数余子式的重要性质,12,例3,证明范德蒙(Vandermonde)行列式,13,练习 计算行列式,解 因为此行列式是一个范德蒙行列式，所以,14,余子式和代数余子式关系,行列式与代数余子式的关系,范德蒙(Vandermonde)行列式,小 结,15,练习,答案：-10368,16,引理 若一个n 阶行列式中第i 行所有元素除,外都为零（记作 ），则这行列式等于,二、行列式与代数余子式的关系,与其代数余子式的乘积，即,这是书上例10中当 时的特殊情况,故有,17,得,再看一般情形，此时,18,19,中的余子式,20,故得,于是有,21,证 由行列式的性质5及引理，有,这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用这一法则并结合行列式的 性质，可简化行列式的计算。,22,证 考虑行列式,仅有第 j 行不同，因此 的第j 行元素的,代数余子式与 D 的第j 行对应元素的代数余子式 相同.,23,上述证法如按列进行，即可得,由于 中有两行相同,综合上述定理及推论，,得代数余子式的重要性质,24,证,用数学归纳法,例8,证明范德蒙(Vandermonde)行列式,25,26,n-1阶范德蒙德行列式,