第四章 数字电路基础,4.1 数字电路的基本概念 一模拟信号和数字信号 模拟信号时间连续、数值也连续的信号。 数字信号时间上和数值上均是离散的信号 数字信号只有两个离散值，常用数字0和1来表示，注意，这里的0和1没有大小之分，称为逻辑0和逻辑1，也称为二值数字逻辑。（1）信号只有两个电压值，5V和0V。 （2）信号变化是一个突变过程称为脉冲信号。,图1.1 典型的数字信号,二正逻辑与负逻辑 （1）正逻辑。正逻辑体制规定高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。 （2）负逻辑。负逻辑体制规定低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。 三数字电路 传递与处理数字信号的电子电路称为数字电路。其特点为：（1）易实现。（2）高可靠，高精度，强抗干扰能力。（3）实现逻辑判断和运算。（4）数字信息便于长期保存。（5）数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。,4.2 数制与编码 1.2.1 数制 一 几种常用的计数体制1十进制(Decimal System)2二进制(Binary System) 3八进制（Octave System） 4十六进制(Hexadecimal System) 二不同数制之间的相互转换1二进制、八进制、十六进制数转换成十进制 2 十进制转换成二进制3二进制、八进制间相互转换4二进制、十六进制间相互转换,4.2.2 编码 数字系统中的代码都是用一定位数的二进制码表示的，称二进制编码。 在编码过程中所遵循的一定的规则叫做码制。数字系统中常用的编码方式有两类，一是二进制编码，另一类是二十进制编码。 一二进制码 1自然二进制码 在二进制编码中，自然二进制码是最常见和容易接受的一种。其中的每位代码具有固定的权值，称有权码。 2循环二进制码 循环二进制码的编码规则是任何两个相邻的码字中，只有一位代码不同，因此也称为单位距离码，如表1.1。循环二进制码的编码不是唯一的。),表1.1 两种4位二进制编码,二二十进制码（BCD码） 二十进制码，又称BCD码（Binary-Coded-Decimal），是另一种常用的编码。BCD码是指用二进制代码来表示十进制的09十个数字。 要用二进制代码来表示十进制的09十个数字，至少要用4位二进制数。4位二进制数有16种组合，可从这16种组合中选择10种组合分别来表示十进制的09十个数。 选哪10种组合，有多种方案，这就形成了不同的BCD码。具有一定规律的常用的BCD码见表1.2。,表1.2 常用BCD码,18421 BCD码 8421码的编码值与字符09的ASCII码的低4位码相同，有利于输入输出过程中BCD码与ASCII之间的相互转换，人为记忆和译码电路均较为简单。其缺点是加减运算较复杂，需要对结果进行矫正。 2余3码 余3码的编码规则是在8421码的基础上加3，故称余3码。余3码的优点之一是当两个余3码的数相加，将比十进制数对应的二进制数多6，因而能自动产生进位信号。余3码的另一优点是每两个十进制数和为9的对应编码互为反码，有利于将减法转换为加法运算。,32421码及5211码 2421码及5211码均为有权代码。另外，与余3码相同，这两种编码中每两个十进制数和为9的对应编码互为反码。 4格雷码（Gray） 格雷码也是一种常用的四位无权码。它是一种循环码。格雷码常用于模拟量的转换中，当模拟量发生微小变化而可能引起数字量发生变化时，格雷码仅改变1位，这样与其它编码同时改变两位或多位的情况相比更为可靠，可减少出错的可能性。 注意：BCD码用4位二进制码表示的只是十进制数的一位。如果是多位十进制数，应先将每一位用BCD码表示，然后组合起来。,【例1.1】将十进制数83分别用8421码、2421码和余3码表示。 解：由表1.2可得 (83)D（1000 0011）8421 (83)D（1110 0011）2421 (83)D（1011 0110）余3,三、原码、反码与补码 1原码：在数字电路中，二进制的正、负符号也只能用0、1来表示，若以最高位作为符号位，最高位“0”表示正数，“1”表示负数，其它各位代表相应的数值，则称原码。 2反码：规定正数的反码为原码本身，负数的反码为保持原码的符号位“1”不变，对原码的其余各位取反。 3补码：在数字电路中，俩数相减是通过其对应补码相加来完成的，正数的补码为原码本身，负数的补码可以由反码在最低位加1得到。,【例1.2】试将+57与-57分别用8位码长的原码、反码和补码来表示。解：将57转换成二进制数为111001，所以 (+57)原码00111001； (+57)反码00111001；(+57)补码00111001。 (-57)原码10111001；(-57)反码11000110；(-57)补码11000111。,4.3 逻辑代数基础 1.3.1基本逻辑运算 一基本逻辑运算 逻辑代数中只有三种基本运算：与、或、非。 1与运算与运算只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。与运算概念可以用下图来表示。,逻辑表达式：运算的规则：“输入有0，输出为0；输入全1，输出为1”。,2或运算 或运算当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就会发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。或逻辑可以用并联开关电路表示。,逻辑表达式：LA+B 运算的规则：“输入有1，输出为1；输入全0，输出为0”。,2非运算 非运算某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。非运算可由下图电路表示，当开关A闭合时，灯不亮；而当A不闭合时，灯亮。,逻辑表达式：运算的规则： ；,二其他常用逻辑运算 任何复杂的逻辑运算都可以由这三种基本逻辑运算组合而成。在实际应用中为了减少逻辑门的数目，使数字电路的设计更方便，还常常使用其他几种常用逻辑运算。 1与非 与非是由与运算和非运算组合而成，如图所示。,2或非 或非是由或运算和非运算组合而成，如图所示。,3异或 异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1，如图所示。其逻辑表达式为：,4同或运算（异或非） 同或的逻辑符号如下，其逻辑表达式为：,5与或非运算 与或非运算符号如上，其逻辑表达式为：,4.3.2逻辑函数及其描述方法 描述逻辑关系的函数称为逻辑函数。前面讨论的与、或、非、与非、或非、异或都是逻辑函数。逻辑函数是从生活和生产实践中抽象出来的，但是只有那些能明确地用“是”或“否”做出回答的事物，才能定义为逻辑函数。 一逻辑问题的描述方法 一个逻辑问题有多种描述方法，即真值表、函数表达式、逻辑图和卡诺图及波形图、点阵图、硬件设计语言等。这里先介绍前三种。,1真值表 真值表是将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。 真值表的特点： （1）直观。输入变量取值一旦确定后，即可在真值表中查出相应的函数值。 （2）方便。在设计逻辑电路时，总是先根据设计要求列出真值表。 （3）真值表的缺点是，当变量比较多时，就会显得过于繁琐。,2函数表达式 函数表达式就是由逻辑变量和“与”、“或”、“非”等运算所构成的表达式。逻辑函数与真值表之间可以相互转换。如：,【例1.3】列出函数 的真值表。 解：该函数有两个变量，有4种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表，如下表所示。,3逻辑图 逻辑图就是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。 【例1.4】画出逻辑函数 的逻辑图。 解：如图。,由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。 【例1.5】 写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解：该逻辑图是由基本的“与”、“或”逻辑符号组成的，可由输入至输出逐步写出逻辑表达式：,二逻辑函数的建立 建立逻辑函数一般有以下步骤： 第一步：设置自变量和因变量。 第二步：逻辑状态赋值。 第三步：根据题意及逻辑状态规定列出函数的真值表 第四步：写出逻辑表达式,【例1.6】 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。 解：（1）将三人的意见设置为自变量A、B、C，并规定只能有同意或不同意两种意见；将表决结果设置为因变量L。 （2）设同意为逻辑“1”，不同意为逻辑“0”。 （3）列出函数的真值表 。,（4）写出逻辑表达式,由真值表可以转换为函数表达式，其方法为： （1）找出真值表中使逻辑函数为1的输入变量组合； （2）上述每组输入变量对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写非变量； （3）将上述乘积项相加（或）得到输出逻辑函数。,【例1.7】 一个电路有三个输入端A，B，C，当其中两个输入端为1时，输出为1，试列出逻辑真值表并写出逻辑函数表达式。 解：列出逻辑真值表如右：,由真值表可见，当ABC取值分别 为：0 1 1、1 0 1、1 1 0时输出L 为1；而此时逻辑项 如图；即逻 辑函数表达式为：,4.3.3逻辑代数的基本定理及运算规则 逻辑代数和普通代数一样，有一套完整的运算规则，包括公理、定理和定律，用它们对逻辑函数式进行处理，可以完成对电路的化简、变换、分析与设计。 一、逻辑代数的基本公式包括9个定律，其中有的定律与普通代数相似，有的定律与普通代数不同，使用时切勿混淆。,证：,【例1.8】 证明吸收律,【例1.9】 用真值表证明反演律,证：,反演律又称摩根定律，是非常重要又非常有用的公式，它经常用于逻辑函数的变换，以下是它的两个变形公式，也是常用的。,二逻辑代数的基本规则 1代入规则代入规则的基本内容是：对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑表达式同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。利用代入规则可以方便地扩展公式。例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍然成立：,2对偶规则将一个逻辑函数L进行下列变换：与变换为或，或变换为与；0变换为1，1变换为0，即： ， 0 1，1 0则所得新函数表达式叫做L的对偶式，用 表示。对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等，反之亦然。对偶规则可以帮助我们记忆公式和证明等式。例如，表1.5中的公式l和公式2互为对偶，利用对偶规则，不难用一边的公式得出另一边的公式。,【例1.10】 试证明A+BC=(A+B)(A+C) 证：等式两边的对偶式分别为A（B+C）和AB+AC，根据乘法分配率，其对偶式相等，故原等式成立。 3反演规则 将一个逻辑函数L进行下列变换：与变换为或，或变换为与；0变换为1，1变换为0；原变量变换为反变量，反变量变换为原变量。则所得新函数表达式叫做L的反函数，用 表示。利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数。,【例1.11】 求函数 的反函数。解：,【例1.12】 求函数 的反函数。解：,在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如【例1.11】。 （2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变（或将它们等同成一个整体变量处理），如【例1.12】。,4.3.4 逻辑函数的代数法（公式法）化简 一、逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。常见的逻辑式主要有以下5种形式： 1与或表达式,2或与表达式,3与非与非表达式,4或非或非表达式,5与或非表达式,在上述多种表达式中，与或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。因此，在化简逻辑函数时，通常是将逻辑式化简成最简与或表达式，然后再根据需要转换成其他形式。 二最简与或表达式的标准（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“ ”号最少。 三用代数法化简逻辑函数*(参阅教材，自学）,