主讲人： 王慧敏,河海大学商学院,经济博弈论,3.3 纳什均衡应用举例,第三章 完全信息静态博弈,3.2 纳什均衡,3.1 策略型博弈,3.5 纳什均衡的存在性和多重性讨论,3.4 混合战略纳什均衡,3.1 战略式博弈,在博弈论里，一个博弈可以用两种不同的方式来表达： 战略型表达：适合于静态博弈(strategic form representation) 扩展型表达：适合于动态博弈(extensive form representation) 这里，我们先介绍博弈的战略型表达,战略型表述又称为标准式表述（normal form representation） 在这种策略中，所有参与人同时选择各自的战略，所有参与人选择的战略一起决定每个参与人的支付 这里，参与人“同时选择”的是战略，而不是行动，因为战略是参与人行动的全面计划。,3.1 战略式博弈,我们给出战略式表述： 1、博弈的参与人集合： ； 2、每个参与人的战略空间： ； 3、每个参与人的支付函数： 。 我们将用 代表战略式表述博弈。,在两寡头产量博弈里，企业是参与人，产量是战略空间，利润是支付；战略式表述博弈为：这里， 分别式第1个企业的产量和利润,3.1 战略式博弈举例,例：,3.2 纳什均衡,3.2.1 占优战略均衡3.2.2 重复剔除的占优均衡3.2.3 纳什均衡定义,3.2.1 占优战略均衡,占优战略均衡的定义,囚徒困境,3.2.1 占优战略均衡,注意：在一个博弈里，如果所有参与人都有占优战略存在，那么，占优战略均衡是可以预测到的唯一的均衡，因为没有一个理性的参与人会选择劣战略。 在囚徒困境博弈里，（坦白、坦白）是占优战略均衡；在上一节引入的房地产开发博弈中，如果市场需求大，（开发、开发）是占优战略均衡。 占优战略均衡只要求每个参与人是理性的，而并不要求每个参与人知道其他参与人是理性的（也就是说，不要求“理性”是共同知识）。,占优战略均衡的定义,定义：在博弈的战略式表述中，如果对于所有的 ， 是 的占优战略，那么，战略组合 称为占优战略均衡（dominant-strategy equilibrium）。,3.2.1 占优战略均衡,劣战略的定义,一般地， 称为参与人 的（严格）占优战略，如果对应所有的 ， 是 严格最优选择，即：对应地，所有的 被称为“劣战略”（dominated strategies）。其中， ，是 之外所有参与人战略的组合。,3.2.2 重复剔除的占优均衡,分析：显然，这个博弈没有占优战略均衡。 在找出上述智猪博弈的均衡解时，可以用“重复剔除严格劣战略”（iterated elimination of strictly dominated strategies）.,定义1：令 和 是参与人 可选择的两个战略（即 ）。如果对于任意的其他参与人的战略组合 ，参与人 从选择 得到的支付严格小于从选择 得到的支付我们说战略 严格劣于战略 （ is strictly dominated by ）。通常， 称为相对于 地劣战略；对应地， 称为相对于 的占优战略。占优战略均衡中的占优战略 是相对于多有 的占优战略。,3.2.2 重复剔除的占优均衡,重复剔除的占优均衡：战略组合 称为重复剔除的占优均衡，如果它是重复剔除劣战略后剩下的唯一的战略组合。如果这种唯一的战略组合是存在的，我们说改博弈是重复剔除占优可解的（dominance sovable）。,3.2.2 重复剔除的占优均衡,定义2： 弱劣于战略 （ is weakly dominated by ），如果对于所有的 ， ， 且对于某些 ，严格不等式成立。 称为相对于 的弱占优战略。,注意： 在用重复剔除方法寻找均衡时，一个战略时占优战略或劣战略只是相对于另一个特定的战略而言，而不是相对于战略组合中的其他所有战略。上述定义中我们使用了“唯一”这个词，如果重复剔除后剩下的战略组合不唯一，我们说该博弈不是重复剔除占优可解的。,3.2.2 重复剔除的占优均衡,为了加深对重复剔除过程的理解，让我们考虑一个例子：,3.2.2 重复剔除的占优均衡,注意：如果每次剔除的是严格劣战略，均衡结果与剔除的顺序无关。然而如果剔除的是弱劣战略，均衡结果可能与剔除顺序有关。 与上节讨论的占优战略均衡不同，重复剔除的占优均衡不仅要求每个参与人是理性的，而且要求“理性”是参与人的共同知识，即所有参与人知道所有参与人是理性的，所有参与人知道所有参与人知道所有参与人是理性的，如此等等。划线法和箭头法只能用于可以用得益矩阵表示的博弈,3.2.2 重复剔除的占优均衡,3.2.3 纳什均衡,让我们设想n个参与人在博弈之前协商达成一个协议，规定每一个参与人选择一个特定的战略。令 代表这个协议，其中 是协议规定的第 个参与人战略。我们要问的一个问题是，给定其他参与人都遵守这个协议，在没有外在强制的情况下，是否有任何参与人有积极性不遵守这个协议？显然，只有当遵守协议带来的效用大于不遵守协议时的效用时，一个人才会遵守这个协议。如果没有任何参与人有积极性不遵守这个协议，我们说这个协议是可以自动实施的（self-enforcing）,这个协议就构成一个纳什均衡；否则，它就不是一个纳什均衡。,纳什均衡的哲学含义,3.2.3 纳什均衡,纳什均衡的定义,有n个参与人的战略式表述博弈 ，战略组合 是一个纳什均衡，如果对于每一个 ， 是给定其他参与人选择 的情况下第 个参与人的最优战略，即:或者用另一种表述方式， 是下述最大化问题的解：,3.2.3 纳什均衡,纳什均衡的定义,注意： 纳什均衡有强弱之分，上述定义给出的是弱纳什均衡的概念。一个纳什均衡是强的（strict or strong），如果给定其他参与人的战略，每一个参与人的最优选择是唯一的。 如果一个纳什均衡是强的，没有任何参与人在均衡战略与某些其他战略之间是无差异的；对比之下，在弱纳什均衡的情况下，有些参与人可能在均衡战略与非均衡战略之间是无差异的。,纳什均衡与占优战略均衡及重复剔除占优均衡之间的关系,1、每一个占优战略均衡、重复剔除的占优均衡一定是纳什均衡，但并非每一个纳什均衡都是占优战略均衡或重复剔除的占优均衡。2、纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略过程中没有被剔除掉的战略组合，但没有被剔除的战略组合不一定是纳什均衡，除非它是唯一的。（这句话并不适用于弱劣战略剔除的情况）,寻找纳什均衡,纳什均衡的一致预测性质,一致预测性质 ：如果所有博弈方都预测一个特定的博弈结果会出现，那么所有的博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力，选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏离这个结果的愿望，这个预测结果最终会成为博弈的结果 注意： “一致预测”“一致”的意义，各博弈方的实际行为选择与他们的预测一致，而不是不同博弈方的预测相同、无差别 一致预测性是纳什均衡的本质属性，保证纳什均衡的价值 只有纳什均衡才具有一致预测性 纳什均衡分析并不一定能对所有博弈结果作出准确的预测,3.3 纳什均衡应用举例,库诺特（Cournot）寡头竞争模型,豪泰森（Hotelling）价格竞争模型,公共地的悲剧,公共物品的私人自愿供给,基础设施建设：中央政府和地方府之间的博弈政,库诺特寡头竞争模型,库诺特寡头竞争模型是纳什模型最早的版本，在该模型中，有两个参与人，分别成为企业1和企业2；每个企业的战略是选择产量；支付是利润，它是两个企业产量的函数。,我们用 代表第 个企业的产量， 代表成本函数， 代表逆需求函数（ 是价格； 是原需求函数）。第 个企业的利润函数为：是纳什均衡产量意味着：,库诺特寡头竞争模型,求解纳什均衡的方法有很多种，这里介绍两种：,对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于零：上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数（reaction function）:反应函数意味着每个企业的最优战略（产量）是另一个企业产量的函数。,库诺特寡头竞争模型,两个反映函数的交叉点就是纳什均衡 如下图所示：,库诺特寡头竞争模型,为了得到更具体的结果，我们可以考虑上述模型的简单情况。假定每个企业具有相同的不变单位成本，即：，需求函数取如下线性形式：。那么，我们可以得到：纳什均衡为： 每个企业的纳什均衡利润分别为:,库诺特寡头竞争模型,用重复剔除严格劣战略的方法找出均衡解,可用此解法求解的条件： 1、利润函数是严格凹的，交叉偏导数是负的 2、两曲线只交叉一次，且在交叉点 更陡 3、寡头企业数不多于3个,豪泰林价格竞争模型,在库诺特模型中，产品是同质的（homogenous）,而在豪泰林价格竞争模型中，我们探讨的是产品存在差异性的情况。如果不同企业生产的产品是有差异的，替代弹性就不会是无限的，此时消费者对不同企业的产品有着不同的偏好，价格不是他们感兴趣的唯一变量。在存在产品差异情况下，均衡价格不会等于边际成本。,豪泰林价格竞争模型,产品的差异有多种。我们现在考虑一种特殊的差异，即空间上的差异（special differentiation），这就是经典的豪泰林（Hotelling,1929）模型。,在豪太林模型中，产品在物质性能上是相同的，但在空间位置上有差异。因为不同位置上的消费者要支付不同的运输成本，他们关心的价格与运输成本之和，而不是单价格。,豪泰林价格竞争模型,假定有一个长度位一的线性城市，消费者均匀地分布在【0，1】区间里，分布密度为1。假定有两个商店，分别位于城市的两端，商店1在x=0，商店2在x=1，出售物质性能相同的产品。每个商店提供单位产品的成本为c，消费者购买商品的旅行成本与离商店的距离成比例，单位距离的成本为t。这样住在x的消费者如果在商店1采购，要花费tx的旅行成本；如果在商店2采购，要花费t(1-x)。假定消费者具有单位需求，消费者从消费中得到的消费剩余为,豪泰林价格竞争模型,我们将消费者的位置差异解释为产品差异，这个差异可进一步解释为消费者购买产品的旅行成本。旅行成本越高，产品的差异就越大，均衡价格从而均衡利润也就越高。 当旅行成本为零时，不同商店的产品之间具有完全替代性，没有任何一个商店可以把价格定得高于成本，我们得到伯川德结果。,我们现在考虑两商店之间价格竞争的纳什均衡。假定两个商店同时选择自己的销售价格。假定 相对于购买总成本（价格旅行费用）而言足够大从而所有消费者都购买一个单位的产品。令 为商店 的价格， 为需求函数。如果住在x的消费者在两个商店之间是无差异的，那么，所有住在x左边的将都在商店1购买，而住在x右边的将在商店2购买，需求分别为 。这里，x满足： 最终可得两个企业的均匀利润为,