1,第4篇 波动与光学,2,机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化,等等,1 简谐振动的描述,广义振动： 一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动,物理量：,3,(简谐振动）,振动的形式:,4,重要的振动形式是简谐振动(SHV)simple harmonic vibration,物理上：一般运动是多个简谐振动的合成 数学上： 付氏级数 付氏积分 也可以说， SHV是振动的基本模型 或说，振动的理论建立在SHV的基础上 注意：以机械振动为例说明振动的一般性质,5,一.简谐振动的判据,表征了系统的能量,位移,振幅,最大位移,由初始条件决定,1.运动学表达式,广义：振动的物理量,弹簧谐振子,特征量：,6,位相 周相,系统的周期性 固有的性质 称固有频率,圆频率,相位,初相位,角频率,取决于时间零点的选择,初位相,7,2. 动力学方程 以弹簧谐振子为例,设弹簧原长为坐标原点,由牛顿第二定律,令,简谐振动,整理得,8,例1 复摆（物理摆）的振动,对比谐振动方程知：,但若做小幅度摆动 即当,由转动定律,得,一般情况不是简谐振动,时,满足的方程：,9,振动的物理量,固有圆频率,角位移,振动表达式,10,思考: 1)证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动， 并求出振动的频率。 2）若令一单摆的频率与本例中的复摆的频率 相等，单摆的摆长l应为多少？ （此摆长l叫复摆的等值单摆长）,11,例2 电磁震荡电路,振动的物理量是电量,电流也是谐振物理量,对比,12,1）谐振动表达式,从对象的运动规律出发 （电学规律 力学规律等）,SHV的标准形式,2）动力学方程,S H V 的判据,13,二. 简谐振动的描述,1.解析描述,14,均是作谐振动的物理量,频率相同,振幅的关系,相位差,超前 落后,15,2.曲线描述,16,3.旋转矢量描述,用匀速圆周运动 几何地描述 S H V,规定,端点在x轴上的投影式,逆时针转,以角速度,17,1） 直观地表达振动状态,当振动系统确定了振幅以后， 表述振动的关键就是相位，即 表达式中的余弦函数的综量,而旋转矢量图 可直观地显示该综量,分析解析式,可知,用图代替了文学的叙述,18,如 文学叙述说，t 时刻弹簧振子质点 在正的端点,旋矢与轴夹角为零, 质点经二分之一振幅处向负方向运动,意味,意味,19,质点过平衡位置向负方向运动,同样,注意到：,20,向正方向运动,或,或,21,由图看出：速度超前位移,加速度超前速度,称两振动同相,2） 方便地比较振动步调,位移与加速度,称两振动反相,若,22,3）方便计算 用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算 例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧组成的弹簧谐振子。t = 0时，质点过平衡位置且向正方向运动。 求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间。,23,解：设 t 时刻到达末态 由已知画出t = 0 时刻的旋矢图,再画出末态的旋矢图,由题意选蓝实线所示的位矢 设始末态位矢夹角为 因为,得,繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得,24,2 简谐振动的能量如，弹簧谐振子,系统机械能守恒 以弹簧原长为势能零点,25,1) 普适,2) 时间平均值,3) 由简谐振动能量求振动,26,例 劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为m， 半径为R的匀质圆柱体的对称轴上， 使之作无滑动的滚动。,证明：圆柱体的质心作谐振动并求出谐振动的角频率,有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便,27,弹簧原长处为坐标原点 设原点处为势能零点 质心在xc时系统的机械能为,解：分析振动系统机械能守恒建坐标如图,（注意上式中的是刚体转动的角速度）,28,两边对t求导数 得,将,代入上式,得,29,与动力学方程比较知，物理量xc的运动形式是谐振动,方便,圆频率,周期,30,3 阻尼振动与阻尼受迫振动一. 阻尼振动二 .受迫振动三.共振,31,一. 阻尼振动1.阻尼振动系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减 系统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数 叫阻力系数 关系式为:,32,令,称阻尼因子,系统固有频率,2.阻尼振动的动力学方程,由牛顿第二定律有,整理得,式中,33,如果无阻尼,是谐振动的形式,存在阻尼,仍振动但能量会衰减,如果能振动起来（欠阻尼情况）， 上述方程的解是什么形式呢？ 从物理上考虑：,阻尼振动方程为,3.振动表达式,34,所以，解的形式必定是 在谐振动的基础上乘上一衰减因子， 即形式为：,可以证明：,35,36,二 .受迫振动 1.受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动2.受迫振动的动力学方程设驱动力按余弦规律变化即,由牛顿第二定律有,37,整理得,其中,固有频率,阻尼因子,38,3.稳定状态的振动表达式受迫振动系统达到稳定时应做与驱动力频率相同的谐振动其表达式为：,用旋矢法可求出上式的A和,39,40,画任意时刻旋矢图,由旋矢图可知：,得,位移与驱动力的相位差,41,在弱阻尼即 0的情况下，,系统的振动速度和振幅都达到最大值 共振。,当 = 0时，,三.共振,共振现象 普遍 有利有弊,160年前，拿破仑入侵西班牙 桥塌 几十年后，圣彼德堡卡坦卡河 1940年，美国，桥，大风，流速,演示共振,42,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,43,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振,桥被摧毁。,(视频再现桥塌过程),44,4 简谐振动的合成 一.振动方向相同 振动频率相同的 两个SHV的合成 二.振动方向相同 振动频率相同 振幅相同 相邻相位差相同 的N个SHV的合成 三. 振动方向相同 频率略有差别的 振幅相等的 两个SHV的合成 四. 两个垂直方向谐振动的合成 五.谐振分析,45,当一个物体同时参与几个谐振动时就需考虑振动的合成问题本节只讨论满足线性叠加的情况本节所讨论的同频率的谐振动合成结果是波的干涉和偏振光干涉的重要基础本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果可以给出重要的实际应用,46,一.振动方向相同 振动频率相同的两个SHV的合成,结果： 仍是谐振动 振动频率仍是,振动的振幅,（双光束干涉的理论基础）,47,若,反相，合振动减弱,同相，合振动加强,特殊结果：,若,若,两振动同相 两振动反相,可能的最强振动 “振动加振动”不振动,48,二. 振动方向相同 振动频率相同 振幅相同 相邻相位差相同 的N个SHV的合成,49,线性相加,用旋矢法求解,由图得,50,一般情况,特例 1）,主极大,2）,的倍数的整数,极小,51,3）,次极大,（多光束干涉的理论基础）,52,例：三个同频率 同振幅A0 同方向的SHV 相邻相位差为 /2 求：合振幅A,解：画旋矢图,/3,由图很容易得到A = 2A0,或将已知条件代入公式,得出结果（请自解）,53,三. 振动方向相同 频率略有差别的振幅相等的 两个SHV的合成 拍 分振动：,线性相加：,结论： 合成已不再是谐振动但考虑到 1 2 可以用谐振动表达式等效，加深认识。,54,分析：,则,较,随时间变化缓慢,将合成式写成谐振动形式,55,合振动可看做是振幅缓变的谐振动 合成振动如图示,表达式为,56,拍 合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频,测未知频率的一种方法,由式,得,演示 两音叉拍,57,四. 两个垂直方向谐振动的合成 1. 同频率的谐振动合成,线性相加：,轨迹方程是椭圆,即，合成的一般结果是椭圆,58,不同，椭圆形状、旋向也不同。,59,例1 用旋矢法作图,60,a),SHV,b),振动方向旋转,c),正椭圆 若,（偏振光干涉的理论基础）,例2 特殊结果,圆,61,2.频率比是简单的正整数,合成轨迹为稳定的闭合曲线李萨如图,例如左图：,应用：测定未知频率,演示垂直合成,62,五.谐振分析,利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干SHV的叠加(合成的逆运算）。,对周期性振动：,T 周期，,k = 1 基频（）,k = 2 二次谐频（2）,k = 3 三次谐频（3）,决定音调,决定音色,高次谐频,63,x2n = 0 , n = 1 , 2 , 3 , ,方波：,思考：有时赞誉一歌唱家：“声音洪亮，音域宽广，音色甜美”。这各指什么物理因素?,64,我国古代对“共振”的认识：,蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，,公元五世纪天中记：,问张华。,张华曰：此盘与宫中钟相谐，,故声相应，,可改变其薄厚。,第19章结束,