2.3 无穷小与无穷大,2.3.1. 无穷小2.3.2. 无穷小的运算性质2.3.3. 无穷大2.3.4. 无穷小与无穷大的关系2.3.5. 无穷小与函数极限的关系2.3.6. 无穷小的比较2.3.7. 利用等价无穷小替换求极限,如,在某个变化过程中，极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小.,2.3.1 无穷小,定义,记作,证,取,恒有,恒有,恒有,的两个无穷小,2.3.2 无穷小的运算性质,证,则当,恒有,在同一过程中,有极限的变量与无穷小,常数与无穷小的乘积是无穷小;,有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小.,推论1,的乘积是无穷小;,推论2,推论3,绝对值无限增大的变量称为,无穷大.,是无穷大.,2.3.3 无穷大,定义,记作,无穷大一定是无界函数,证,例,的图形的,垂直渐近线(vertical asymptote).,的图形的,水平渐近线(horizontal asymptote).,则直线,特殊情形:,正无穷大,负无穷大,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,证,此时对,使得当,2.3.4 无穷小与无穷大的关系,此时对,使得当,证,定理,恒有,也即,定理中过程可以换成 x ,2.3.5 无穷小与函数极限的关系,于是,恒有,即,定理1,例,2.3.6 无穷小的比较,不可比.,观察各极限,是无穷小.,不存在.,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,定义,记作,是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;,同阶无穷小;,低阶的无穷小;,如,高阶无穷小,同阶无穷小.,定理,证,例,解,2.3.7 利用等价无穷小替换求极限,例,解,例,解,解,无穷小的概念,无穷小的运算,无穷小与函数极限的关系,无穷大的概念,无穷小与无穷大的关系,小 结,无穷小的比较,等价无穷小的替换,思考题,任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？,解答,不能,