大学本科课程 -自动控制原理,第四章 根轨迹法,设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。,例43,解：将开环传递函数写成零、极点形式,最后绘制出根轨迹如图47所示。,法则一，有两条根轨迹； 法则二，根轨迹连续且对称于实轴； 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处； 法则四，在负实轴上， 1 到0区间和负无穷到2区间是根轨迹。,按绘制根规迹法则逐步进行：,图47 例43根轨迹,根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实轴方向的夹角,称为起始角,以 表示，见图4-10 ；根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实轴方向的夹角，称为终止角，以 表示，见图4-10,法则六 根轨迹的起始角与终止角,在右图所示的根轨迹上 取一试验点 ，使 无 限地靠近开环复数极点 , 即认为 ,则这时 ，依据 相角方程证明起始角。,法则六 根轨迹的起始角与终止角,例4-5（P109）,设系统开环传递函数,试计算起始角。,七、根轨迹的分离点坐标d,定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间将存在分离点。,分离点的坐标d可由下面方程求得,一般采用下面介绍的法求分离点坐标,闭环特征方程为,令,联立二式消去K*：,从中求出的s就是分离点的可能取值。,本题的实轴根轨迹区间为 和 ，因s2不在根轨迹区间，所以分离点必落在 s1处。,例 设控制系统的开环传递函数为：,求根轨迹分离点。,解：,本题中,故,代入,有,解之得,八、分离角与会合角,所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。 分离角计算公式,仅限实轴分离角,九、根轨迹与虚轴的交点,说明：若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着 的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此，令劳斯表第一列中包含 的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的 值。,根轨迹与虚轴相交，交点对应的 值和 值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的 然后分别令其实部和虚部为零而求得。,确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，是将 代入闭环特征方程，得到,令上述方程的实部和虚部分别为零，有,和,从而可求得 值和 值。,例 求系统根轨迹与虚轴交点的坐标及临界参数值K*,解 控制系统的特征方程是,将 代入上式，得,根轨迹与虚轴的交点坐标为,将 的值代入实部方程得K*=6,当K*6时，系统将不稳定。,例 负反馈系统的开环传递函数试画K(由0)变化的系统闭环根轨迹。,解：,开环极点：p1=0，p2= -1，p3= -2无开环有限零点。,(2) n = 3 ，根轨迹有3条分支；,(3) K = 0时 ，根轨迹起于p1 ， p2 ， p3K 时，皆趋于无穷远处；,(4) 实轴上的根轨迹区段：(-1, 0)，(-, -2),(5) 渐近线：,(6) 分离点sd：,由极值法公式,解得 sd = -0.42, sd = -1.58 (舍),(7) 分离角：,(8) 根轨迹与虚轴交点坐标即临界增益：,令 s = j ，代入特征方程,将实部和虚部分别写成方程式,解之，得,所以，与虚轴交点坐标为临界增益,试画出 时的闭环系统的概略根轨迹。,例48,已知单位负反馈系统开环传递函数为,解：,n=4，有四条根轨迹； 起点是开环极点(0)，(-20)，(-2+j4), (-2-j4)，终点是无穷远处； 实轴上的根轨迹在（-20， 0）区间； n=4,m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为,取,根轨迹的起始角,分离点坐标 。,高阶方程不要求解答，因此这一项可以忽略。,根轨迹与虚轴交点。,解得,Thank You!,