内容回顾,相似矩阵：存在可逆P，使得,A与B相似，A与B的特征多项式相同，特征值亦相同。,（充要条件） A有n 个线性无关的特征向量。,（充分条件） A有 n 个互不相等特征值。,A相似于对角阵,A是 n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使，其中 是以A的 n 个特征值为对角元素 的对角阵。,对称矩阵化对角阵的基本步骤：1 求A的特征值（共 n 个，重根按重数计算）； 2 求各特征值对应的特征向量；3 （在正交化、单位化后）写出正交矩阵P；,则二次型可以记为,二次型,总有正交变换 ，使 化为标准形其中 是 的矩阵 的特征值。,定理 任给实二次型,例2, 写出二次型的矩阵A（一定是对称阵）； 求A的特征值（共 n 个，重根按重数计算）； 求各特征值对应的特征向量； （在正交化、单位化后）写出正交矩阵P； 写出二次型的标准形及所用的正交变换。,注 此类习题是本章的基本题型之一，要求大家必 须掌握，其解法步骤如下：,求一个正交变换把下列二次型化为标准形。,解 二次型的矩阵为,它的特征 多项式为,于是A的特征值为,对于,解方程组,可得正交的基础解系,得基础解系,单位化得,对于,解方程组,单位化即得,于是，正 交变换为,标准形为,6 化二次型为标准形的其它方法,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变,问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤：,拉格朗日配方法可以分为两种情形：1）二次型中含有平方项；2）二次型中不含平方项。,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.,解,例1,所用变换矩阵为,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,7 正定二次型,试回答下列问题： 二次型的标准形是否唯一？ 用正交变换法得到的标准形是否唯一？ 标准形中所含 (非零)的项数是否确定？,答：1 不唯一，这从配方法所得的标准形即可知。2 除顺序可能不同外，唯一。3 确定，为二次型的秩。,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们来研究二次型的标准形所具有的性质,为正定二次型,为负定二次型,例如,证明,充分性,故,必要性,故,推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即,正定矩阵具有以下一些简单性质,1 证明：若A正定，则 也正定。,证 因为 A 正定，故A的 n 个特征值皆大于零，,从而,中每一个矩阵的 n 个 特,征值也全部大于零。（为什么？）,于是，由推论知,为正定的。,2 证明 ：若A、B皆正定，则A+B也正定。,证 对于任意,由于A、B皆正定，知,从而,由定义，即A+B是正定的。,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,解,第五章 小 结,概念：内积、正交、特征值、特征向量、正交矩阵相似矩阵、对角化、二次型、标准形、正定矩阵,习题类型 1 施密特正交化过程 2 方阵的特征值、特征向量的讨论 3 用正交阵化对称阵为对角阵（或用正交变换化二次型为标准形。） 4 用配方法化二次型为标准形 5 判别二次型（或对称阵）的正定性,1、若二次型,是正定的，则t的取值范围是 。,2、设A是3阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则 A2+3A-2E的特征值为 。,2，- 4，8,3、设矩阵,相似，则,。,0,证 反证）若,是A的特征向量，设对应的,，即,特征值为,此即,矛盾。,于是,解 与二次型对应的矩阵为,标准形所对应的矩阵为,从而,单位化后的向量记为,由,得特征向量,，特征值为1，2，5。,又记,，由,得特征,则所求的正交变换为,，由,得特征向量,向量,6 设三阶实对称矩阵A的特征值为6,3, 3, 与特征值6对应的特征向量为p1 =(1 1 1)T , 求A。,解 先求出与 3对应的特征向量，由A的不同特征值所对应的特征向量正交，考虑方程组：,取基础解系,正交化,单位化,构造正 交矩阵,满足：,于是,7 设A为n阶可逆矩阵，且每一行元素之和皆等于d, 试证（1）d是A的特征值；（2）A的逆也是各行元素之和皆相等的矩阵。,证,故,由题知,故有,这表明,的各行元素之和相等，皆为 .,证毕,复 习 要 点,第一章 逆序数的计算、行列式的性质及计算 第二章 求矩阵的逆、秩、伴随矩阵的性质用矩阵的初等变换解题。 第三章 向量的线性相关性讨论、向量组的秩的讨论 第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、（齐次或非齐次解的结构的讨论） 第五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交矩阵化实对称阵为对角阵（或用正交变换化二次型为标准形）、正定性判别,